ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1071 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Последовательность:
\[
x_n = \frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}};
\]

1) Формула последовательности:
\[
x_n = \frac{\sqrt{a_{n+1}} — \sqrt{a_n}}{a_{n+1} — a_n} = \frac{\sqrt{a_{n+1}} — \sqrt{a_n}}{d};
\]

2) Сумма \(n\) первых членов:
\[
S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + \dots + x_n;
\]

\[
S = \frac{\sqrt{a_2} — \sqrt{a_1}}{d} + \frac{\sqrt{a_3} — \sqrt{a_2}}{d} + \dots + \frac{\sqrt{a_{n+1}} — \sqrt{a_n}}{d};
\]

\[
S = \frac{\sqrt{a_{n+1}} — \sqrt{a_1}}{d};
\]

\[
S = \frac{a_1 + dn — a_1}{d(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1})} = \frac{n}{\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1}}.
\]

Ответ:
\[
\frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}.
\]

Задана последовательность:

\[
x_n = \frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}}
\]

1) Формула последовательности:

Начнем с того, что можем переписать выражение для \( x_n \) в более удобной форме. Мы знаем, что последовательность дана как:

\[
x_n = \frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}}
\]

Мы можем умножить числитель и знаменатель на \( \sqrt{a_{n+1}} — \sqrt{a_n} \), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

\[
x_n = \frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}} \cdot \frac{\sqrt{a_{n+1}} — \sqrt{a_n}}{\sqrt{a_{n+1}} — \sqrt{a_n}} = \frac{\sqrt{a_{n+1}} — \sqrt{a_n}}{a_{n+1} — a_n}
\]

Так как разность \( a_{n+1} — a_n = d \) (где \( d \) — это разность прогрессии), получаем:

\[
x_n = \frac{\sqrt{a_{n+1}} — \sqrt{a_n}}{d}
\]

Таким образом, мы выразили \( x_n \) через разность квадратных корней с делением на разность прогрессии.

2) Сумма \( n \) первых членов:

Теперь найдем сумму первых \( n \) членов последовательности \( x_n \). Сумма будет выглядеть так:

\[
S = x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n
\]

Для каждого члена последовательности мы знаем, что \( x_n = \frac{\sqrt{a_{n+1}} — \sqrt{a_n}}{d} \). Подставим это выражение в сумму:

\[
S = \frac{\sqrt{a_2} — \sqrt{a_1}}{d} + \frac{\sqrt{a_3} — \sqrt{a_2}}{d} + \dots + \frac{\sqrt{a_{n+1}} — \sqrt{a_n}}{d}
\]

Это телескопическая сумма, где промежуточные члены будут сокращаться. Остаток от суммы — это разница между первым и последним корнем:

\[
S = \frac{\sqrt{a_{n+1}} — \sqrt{a_1}}{d}
\]

Теперь упростим это выражение:

\[
S = \frac{a_1 + dn — a_1}{d(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1})}
\]

Мы можем заметить, что числитель сводится к \( n \), а в знаменателе остаются \( \sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1} \). Итак, получаем окончательное выражение для суммы:

\[
S = \frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}
\]

Ответ:

\[
S = \frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}
\]