ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1069 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что у = f(x) — линейная функция и х1, х2, х3, … — арифметическая прогрессия. Докажите, что последовательность f(x1), f(x2), … является арифметической прогрессией.

Задана прогрессия:
\[
x_n = x_1 + d(n — 1);
\]

1) Линейная функция:
\[
f(x) = kx + b, \quad y = f(x);
\]

2) Является прогрессией:
\[
f(x_n) = k(x_1 + dn — d) + b;\]

\[f(x_{n+1}) = k(x_1 + dn) + b;\]

\[d_y = f(x_{n+1}) — f(x_n) = kd;
\]

Что и требовалось доказать

1. Пусть \( x_1,x_2,\dots \) — арифметическая прогрессия с разностью \( d \), то есть для каждого \( n\ge 1 \) выполняется \( x_n=x_1+d(n-1) \). Пусть также \( f \) — линейная функция вида \( f(x)=kx+b \), где \( k,b \) — фиксированные действительные константы.

2. Рассмотрим образ каждого члена прогрессии при \( f \): \( f(x_n)=k\,x_n+b=k\bigl(x_1+d(n-1)\bigr)+b= kx_1+kd(n-1)+b \). Перепишем явный вид последовательности \( \bigl(f(x_n)\bigr) \) по номеру \( n \): \( f(x_n)=(kx_1+b)-kd+kd\cdot n \). Это линейная функция от \( n \), то есть последовательность имеет постоянную приращение при переходе от \( n \) к \( n+1 \).

3. Проверим постоянство разности соседних членов напрямую: \( f(x_{n+1})-f(x_n)=\bigl(kx_{n+1}+b\bigr)-\bigl(kx_n+b\bigr)=\)

\(k(x_{n+1}-x_n)=k\bigl((x_1+d n)-(x_1+d(n-1))\bigr)=k d \). Полученная разность \( k d \) не зависит от \( n \), следовательно, последовательность \( \bigl(f(x_n)\bigr) \) является арифметической прогрессией с разностью \( d_f=kd \).

4. Первая вершина прогрессии образов: \( f(x_1)=k x_1+b \). Таким образом, явная формула для суммы образов: \( f(x_n)=f(x_1)+(n-1)\,kd \), что ещё раз подтверждает арифметичность последовательности \( \bigl(f(x_n)\bigr) \).

5. Замечания о частных случаях: если \( k=0 \), то \( f(x)\equiv b \), и \( f(x_n)=b \) — константная последовательность, то есть арифметическая прогрессия с разностью \( 0 \); если \( d=0 \) (исходная последовательность постоянна), то \( f(x_n)=k x_1+b \) — также константна, что опять даёт арифметическую прогрессию с разностью \( 0 \). Во всех случаях утверждение верно.

Вывод: для любой линейной функции \( f(x)=kx+b \) и любой арифметической прогрессии \( x_n=x_1+d(n-1) \) последовательность \( f(x_1),f(x_2),\dots \) является арифметической прогрессией с первым членом \( f(x_1)=k x_1+b \) и разностью \( kd \).