ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1067 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму первых n членов последовательности (хn), если xn=1/(2n-1)(2n+1).

Последовательность:
\[
x_n = \frac{1}{(2n — 1)(2n + 1)};
\]

Сумма \( n \) первых членов:
\[
S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n — 1)(2n + 1)};
\]

\[
S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} — \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} — \frac{1}{5} \right) +\]

\[\frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} -\frac{1}{7} \right) + \dots + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n — 1} — \frac{1}{2n + 1} \right);
\]

\[
S = \frac{1}{2} \left( 1 — \frac{1}{2n + 1} \right);
\]

\[
S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n + 1 — 1}{2n + 1} = \frac{n}{2n + 1}.
\]

Ответ:
\[
\frac{n}{2n + 1}.
\]

Задана последовательность:

\( x_n = \frac{1}{(2n — 1)(2n + 1)} \)

Сумма \( n \) первых членов:

\[
S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n — 1)(2n + 1)}
\]

Теперь разложим каждый член на два дробных выражения:

\[
S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} — \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} — \frac{1}{5} \right) +\]

\[\frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} — \frac{1}{7} \right) + \dots + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n — 1} — \frac{1}{2n + 1} \right)
\]

Теперь заметим, что эта сумма является телескопической, то есть многие слагаемые сокращаются. Останется только первый и последний член:

\[
S = \frac{1}{2} \left( 1 — \frac{1}{2n + 1} \right)
\]

Упростим выражение:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n + 1 — 1}{2n + 1} = \frac{n}{2n + 1}
\]

Ответ:

\[
S = \frac{n}{2n + 1}
\]