ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1067 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму первых n членов последовательности (хn), если xn=1/(2n-1)(2n+1).

Последовательность:
\[
x_n = \frac{1}{(2n — 1)(2n + 1)};
\]

Сумма \( n \) первых членов:
\[
S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n — 1)(2n + 1)};
\]

\[
S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} — \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} — \frac{1}{5} \right) +\]

\[\frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} -\frac{1}{7} \right) + \dots + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n — 1} — \frac{1}{2n + 1} \right);
\]

\[
S = \frac{1}{2} \left( 1 — \frac{1}{2n + 1} \right);
\]

\[
S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n + 1 — 1}{2n + 1} = \frac{n}{2n + 1}.
\]

Ответ:
\[
\frac{n}{2n + 1}.
\]

1. Пусть \( n\in\mathbb{N} \), задана последовательность \( x_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \). Требуется найти сумму первых \( n \) членов \( S_n=\sum_{k=1}^{n}x_k \).

2. Выполним разложение в простые дроби для общего члена. Ищем константы \( A \) и \( B \) такие, что
\( \displaystyle \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{A}{2k-1}+\frac{B}{2k+1} \).
Тогда
\( 1=A(2k+1)+B(2k-1)=(2A+2B)k+(A-B) \).
Отсюда система \( 2A+2B=0 \) и \( A-B=1 \), откуда \( A=\frac{1}{2} \), \( B=-\frac{1}{2} \). Следовательно,
\( \displaystyle \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right) \).

3. Суммируем телескопическую последовательность:
\( \displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right) \).

4. Запишем первые несколько слагаемых, чтобы увидеть сокращения:
\( \displaystyle S_n=\frac{1}{2}\Big(\underbrace{\frac{1}{1}-\frac{1}{3}}_{k=1}+\underbrace{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}_{k=2}+\underbrace{\frac{1}{5}-\frac{1}{7}}_{k=3}+\dots+\underbrace{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}_{k=n}\Big) \).
Все промежуточные члены \( \frac{1}{3},\frac{1}{5},\dots,\frac{1}{2n-1} \) попарно сокращаются, остаются только крайние:
\( \displaystyle S_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right) \).

5. Приведём к одной дроби:
\( \displaystyle S_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{2n+1-1}{2n+1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2n}{2n+1}=\frac{n}{2n+1} \).

6. Проверка на частном случае \( n=1 \): \( S_1=x_1=\frac{1}{1\cdot 3}=\frac{1}{3} \), формула даёт \( \frac{1}{2\cdot 1+1} \cdot 1=\frac{1}{3} \) (то есть \( \frac{n}{2n+1}=\frac{1}{3} \)) — совпадает.

Ответ: \( S_n=\frac{n}{2n+1} \).