ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1064 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Существует ли такое двузначное число, которое при делении на сумму квадратов его цифр даёт в частном 2 и в остатке 6, а при делении на произведение цифр даёт в частном 4 и в остатке 6?

Зададим переменные:
\( x \) — цифра десятков;

\( y \) — цифра единиц;

1) Первое уравнение:
\[
\frac{10x + y}{xy} = 4 + \frac{6}{xy};
\]

\[
10x + y = 4xy + 6;
\]

2) Второе уравнение:
\[
\frac{10x + y}{x^2 + y^2} = 2 + \frac{6}{x^2 + y^2};
\]

\[
10x + y = 2x^2 + 2y^2 + 6;
\]

\[
4xy + 6 = 2x^2 + 2y^2 + 6;
\]

\[
2x^2 — 4xy + 2y^2 = 0;
\]

\[
x^2 — 2xy + y^2 = 0;
\]

\[
(x — y)^2 = 0, \quad x = y;
\]

3) Первое уравнение:
\[
10x + x = 4x^2 + 6, \quad 4x^2 — 11x + 6 = 0;
\]

\[
D = 11^2 — 4 \cdot 4 \cdot 6 = 121 — 96 = 25,
\]
тогда:

\[
x_1 = \frac{11 — 5}{2 \cdot 4} = 0{,}75 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{11 + 5}{2 \cdot 4} = 2;
\]

Ответ:
\( 22 \).

Заданы переменные:

\( x \) — цифра десятков; \( y \) — цифра единиц;

Шаг 1: Решим первое уравнение:

Уравнение:

\[
\frac{10x + y}{xy} = 4 + \frac{6}{xy}
\]

Переносим \( 4 + \frac{6}{xy} \) в правую часть:

\[
10x + y = 4xy + 6
\]

Шаг 2: Решим второе уравнение:

Уравнение:

\[
\frac{10x + y}{x^2 + y^2} = 2 + \frac{6}{x^2 + y^2}
\]

Переносим \( 2 + \frac{6}{x^2 + y^2} \) в правую часть:

\[
10x + y = 2x^2 + 2y^2 + 6
\]

Теперь приравняем правые части из первого и второго уравнений:

\[
4xy + 6 = 2x^2 + 2y^2 + 6
\]

Убираем \( 6 \) с обеих сторон:

\[
4xy = 2x^2 + 2y^2
\]

Разделим обе части на 2:

\[
2xy = x^2 + y^2
\]

Теперь перенесем все на одну сторону:

\[
2x^2 — 4xy + 2y^2 = 0
\]

Разделим обе части на 2:

\[
x^2 — 2xy + y^2 = 0
\]

Это полное квадратное выражение:

\[
(x — y)^2 = 0
\]

Следовательно, \( x = y \).

Шаг 3: Подставим \( x = y \) в первое уравнение:

Теперь подставим \( x = y \) в уравнение:

\[
10x + x = 4x^2 + 6
\]

Упростим:

\[
11x = 4x^2 + 6
\]

Переносим все на одну сторону:

\[
4x^2 — 11x + 6 = 0
\]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение:

Найдем дискриминант для уравнения \( 4x^2 — 11x + 6 = 0 \):

\[
D = (-11)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 6 = 121 — 96 = 25
\]

Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{-(-11) — \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{11 — 5}{8} = 0.75, \quad x_2 =\]

\[\frac{-(-11) + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{11 + 5}{8} = 2
\]

Ответ: \( x = 2 \), и так как \( x = y \), то \( y = 2 \). Следовательно, значение числа равно \( 22 \).