ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1062 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любом а выполняется неравенство

Доказать неравенство:
\[
\frac{1}{3} \leq \frac{a^2 — a + 1}{a^2 + a + 1} \leq 3;
\]

1) Первое неравенство:
\[
a^2 + a + 1 \leq 3(a^2 — a + 1);
\]

\[
a^2 + a + 1 \leq 3a^2 — 3a + 3;
\]

\[
2a^2 — 4a + 2 \geq 0;
\]

\[
a^2 — 2a + 1 \geq 0;
\]

\[
(a — 1)^2 \geq 0, \quad a \in \mathbb{R};
\]

2) Второе неравенство:
\[
3(a^2 + a + 1) \geq a^2 — a + 1;
\]

\[
3a^2 + 3a + 3 \geq a^2 — a + 1;
\]

\[
2a^2 + 4a + 2 \geq 0;
\]

\[
a^2 + 2a + 1 \geq 0;
\]

\[
(a + 1)^2 \geq 0, \quad a \in \mathbb{R};
\]

Что и требовалось доказать.

Задано неравенство:

\[
\frac{1}{3} \leq \frac{a^2 — a + 1}{a^2 + a + 1} \leq 3
\]

Шаг 1: Решим первое неравенство:

Неравенство:

\[
a^2 + a + 1 \leq 3(a^2 — a + 1)
\]

Раскроем скобки:

\[
a^2 + a + 1 \leq 3a^2 — 3a + 3
\]

Переносим все на одну сторону:

\[
a^2 + a + 1 — 3a^2 + 3a — 3 \leq 0
\]

Упрощаем:

\[
-2a^2 + 4a — 2 \leq 0
\]

Разделим обе части на -2 (поменяется знак неравенства):

\[
a^2 — 2a + 1 \geq 0
\]

Это неравенство имеет вид полного квадрата:

\[
(a — 1)^2 \geq 0
\]

Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, то это неравенство выполняется для всех \( a \in \mathbb{R} \).

Шаг 2: Решим второе неравенство:

Неравенство:

\[
3(a^2 + a + 1) \geq a^2 — a + 1
\]

Раскроем скобки:

\[
3a^2 + 3a + 3 \geq a^2 — a + 1
\]

Переносим все на одну сторону:

\[
3a^2 + 3a + 3 — a^2 + a — 1 \geq 0
\]

Упрощаем:

\[
2a^2 + 4a + 2 \geq 0
\]

Разделим обе части на 2:

\[
a^2 + 2a + 1 \geq 0
\]

Это также полное квадратное выражение:

\[
(a + 1)^2 \geq 0
\]

Как и в первом случае, квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому неравенство выполняется для всех \( a \in \mathbb{R} \).

Что и требовалось доказать:

Мы доказали оба неравенства, и это завершает решение.