ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1061 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значение m, при котором корни уравнения x3 — 9х2 + mx -15 = 0 образуют арифметическую прогрессию.

В данном уравнении:
\[
x^3 — 9x^2 + mx — 15 = 0;
\]

\[
(x — x_2 + d)(x — x_2)(x — x_2 — d) = 0;
\]

\[
(x^2 — 2x x_2 + x_2^2 — d^2)(x — x_2) = 0;
\]

\[
x^3 — x^2 x_2 — 2x x_2^2 + 2x x_2 + x x_2^2 — x_2^3 — x d^2 + x_2 d^2 = 0;
\]

\[
x^3 — 3x^2 x_2 + 3x x_2 — d^2 x + d^2 x_2 — x_2^3 = 0, \quad 3x_2 = 9;
\]

\[
x_2 = 3, \quad x^3 — 9x^2 + 27x — d^2 x + 3d^2 — 27 = 0;
\]

\[
3d^2 — 27 = -15, \quad 3d^2 = 12, \quad d^2 = 4;
\]

\[
m = 27 — d^2 = 27 — 4 = 23;
\]

Ответ:
\(m = 23.\)

Задано уравнение:

\[
x^3 — 9x^2 + mx — 15 = 0
\]

Шаг 1: Раскроем уравнение:

Начнем с рассмотрения представленного уравнения в виде произведения трех множителей:

\[
(x — x_2 + d)(x — x_2)(x — x_2 — d) = 0
\]

Распишем его в более простом виде:

\[
(x^2 — 2x x_2 + x_2^2 — d^2)(x — x_2) = 0
\]

Теперь раскроем выражения:

\[
x^3 — x^2 x_2 — 2x x_2^2 + 2x x_2 + x x_2^2 — x_2^3 — x d^2 + x_2 d^2 = 0
\]

Шаг 2: Упростим уравнение:

После упрощения получаем следующее уравнение:

\[
x^3 — 3x^2 x_2 + 3x x_2 — d^2 x + d^2 x_2 — x_2^3 = 0
\]

У нас есть информация, что \( 3x_2 = 9 \), следовательно, \( x_2 = 3 \). Подставим это значение в уравнение:

\[
x^3 — 9x^2 + 27x — d^2 x + 3d^2 — 27 = 0
\]

Шаг 3: Найдем значение \( d^2 \):

Теперь у нас есть уравнение:

\[
3d^2 — 27 = -15, \quad 3d^2 = 12, \quad d^2 = 4
\]

Шаг 4: Найдем значение \( m \):

Теперь, используя значение \( d^2 = 4 \), найдем \( m \):

\[
m = 27 — d^2 = 27 — 4 = 23
\]

Ответ: \( m = 23 \).