ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1055 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение (х + З)4 + (х + 5)4 = 4.

Решение уравнения:
\[
(x + 3)^4 + (x + 5)^4 = 4;
\]

Пусть \( y = x + 4 \), тогда:
\[
(y — 1)^4 + (y + 1)^4 = 4;
\]

\[
2y^4 + 12y^2 + 2 = 4; \quad 2y^4 + 12y^2 — 2 = 0;
\]

\[
y^4 + 6y^2 — 1 = 0;
\]

\[
D = 6^2 + 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 + 4 = 40, \quad \text{тогда:}
\]

\[
y^2 = \frac{-6 + \sqrt{40}}{2} = \frac{-6 + 2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10} — 3;
\]

\[
y = \pm \sqrt{10 — 3}, \quad x = \pm \sqrt{10 — 3} — 4;
\]

Ответ:
\(-\sqrt{10 — 3} — 4; \quad \sqrt{10 — 3} — 4.\)

Задано уравнение:

\( (x + 3)^4 + (x + 5)^4 = 4 \)

Шаг 1: Подставим замену \( y = x + 4 \):

Тогда \( x + 3 = y — 1 \) и \( x + 5 = y + 1 \). Подставим это в уравнение:

\[
(y — 1)^4 + (y + 1)^4 = 4
\]

Шаг 2: Раскроем скобки:

Применим формулу расширения четвертых степеней для \( (y — 1)^4 \) и \( (y + 1)^4 \):

\[
(y — 1)^4 + (y + 1)^4 = 2y^4 + 12y^2 + 2
\]

Теперь у нас есть уравнение:

\[
2y^4 + 12y^2 + 2 = 4
\]

Преобразуем его:

\[
2y^4 + 12y^2 — 2 = 0
\]

Шаг 3: Упростим уравнение:

Разделим обе части на 2:

\[
y^4 + 6y^2 — 1 = 0
\]

Шаг 4: Находим дискриминант:

Решаем это уравнение как квадратное по переменной \( y^2 \). Сначала находим дискриминант:

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40
\]

Теперь находим \( y^2 \):

\[
y^2 = \frac{-6 + \sqrt{40}}{2} = \frac{-6 + 2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10} — 3
\]

Шаг 5: Находим \( y \) и \( x \):

Теперь находим \( y \):

\[
y = \pm \sqrt{\sqrt{10} — 3}
\]

Так как \( x = y — 4 \), то:

\[
x = \pm \sqrt{\sqrt{10} — 3} — 4
\]

Ответ: \( — \sqrt{\sqrt{10} — 3} — 4 \); \( \sqrt{\sqrt{10} — 3} — 4 \).