ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1054 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите все решения системы

система

x3+x3y3+y3=12,

x+xy+y=0.

Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x^3 + x^3y^3 + y^3 = 12, \\
x + xy + y = 0.
\end{cases}
\]

1) Из второго уравнения:
\[
xy = -x — y, \quad xy = -(x + y);
\]

2) Первое уравнение:

\[
x^3 + y^3 = 12 — (xy)^3;
x^3 + y^3 = 12 + (x + y)^3;
\]

\[
12 + 3x^2y + 3xy^2 = 0;
xy(x + y) + 4 = 0;\]
\[-(x + y)^2 + 4 = 0;
(x + y)^2 = 4;
\]

\[
x + y = \pm 2; \quad y = \pm 2 — x;
\]

3) Первое значение:
\[
x(-2 — x) = -(x — 2 — x);
-2x — x^2 = -x + 2 + x;
x^2 + 2x + 2 = 0;
\]

4) Второе значение:
\[
x(2 — x) = -(x + 2 — x);
2x — x^2 = -x — 2 + x;
x^2 — 2x — 2 = 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 + 8 = 12, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3};
\]

\[
y = 2 — (1 \pm \sqrt{3}) = 1 \mp \sqrt{3};
\]

Ответ:

\[
(1 — \sqrt{3}; 1 + \sqrt{3}); \quad (1 + \sqrt{3}; 1 — \sqrt{3}).
\]

Задана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x^3 + x^3y^3 + y^3 = 12, \\
x + xy + y = 0.
\end{cases}
\]

Шаг 1: Из второго уравнения:

Из второго уравнения можно выразить \( xy \):

\[
xy = -x — y
\]

Шаг 2: Подставляем это в первое уравнение:

Подставим выражение для \( xy \) в первое уравнение:

\[
x^3 + y^3 = 12 — (xy)^3
\]

Так как \( xy = -(x + y) \), подставляем это в уравнение:

\[
x^3 + y^3 = 12 + (x + y)^3
\]

Шаг 3: Упростим уравнение:

Раскроем куб и упростим:

\[
12 + 3x^2y + 3xy^2 = 0
\]

Выразим это через \( xy(x + y) + 4 = 0 \), и получим:

\[
-(x + y)^2 + 4 = 0
\]

Отсюда:

\[
(x + y)^2 = 4
\]

Таким образом, \( x + y = \pm 2 \), и \( y = \pm 2 — x \).

Шаг 4: Решим для каждого значения:

Для \( x + y = -2 \):

Подставим \( y = -2 — x \) в уравнение для \( xy \):

\[
x(-2 — x) = -(x — 2 — x)
\]

Упростим:

\[
-2x — x^2 = -x + 2 + x
\]

Получаем уравнение:

\[
x^2 + 2x + 2 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = -4
\]

Так как дискриминант меньше нуля, решений нет

Для \( x + y = 2 \):

Подставим \( y = 2 — x \) в уравнение для \( xy \):

\[
x(2 — x) = -(x + 2 — x)
\]

Упростим:

\[
2x — x^2 = -x — 2 + x
\]

Получаем уравнение:

\[
x^2 — 2x — 2 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 + 8 = 12
\]

Корни уравнения:

\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}
\]

Таким образом, \( x = 1 \pm \sqrt{3} \), и \( y = 2 — (1 \pm \sqrt{3}) = 1 \mp \sqrt{3} \).

Ответ: Решения системы: \( (1 — \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}) \) и \( (1 + \sqrt{3}, 1 — \sqrt{3}) \).