ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1053 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений

система

x3-y3=19(x-y),

x3+y3=7(x+y).

Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x^3 — y^3 = 19(x — y), \\
x^3 + y^3 = 7(x + y).
\end{cases}
\]

1) Первое уравнение:
\((x — y)(x^2 + xy + y^2) = 19(x — y);\)

\(x^2 + xy + y^2 = 19,\) \(y = x;\)

2) Второе уравнение:
\((x + y)(x^2 — xy + y^2) = 7(x + y);\)

\(x^2 — xy + y^2 = 7,\) \(y = -x;\)

3) Разность уравнений:
\(2xy = 12,\) \(y = \frac{12}{2x} = \frac{6}{x};\)

4) Первое значение:
\[
x^2 = \frac{36}{x^2} \quad \text{или} \quad x^2;
\]

\(x^4 — 13x^2 + 36 = 0;\)

\(D = 13^2 — 4 \cdot 36 = 169 — 144 = 25,\) тогда:

\[
x_1^2 = \frac{13 — 5}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2^2 = \frac{13 + 5}{2} = 9;
\]

\(x_1 = \pm\sqrt{4} = \pm2 \quad \text{и} \quad x_2 = \pm\sqrt{9} = \pm3;\)

\(y_1 = \frac{6}{\pm2} = \pm3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{6}{\pm3} = \pm2;\)

5) Второе значение:
\[
x^3 + x^3 = 7(x + x); \quad 2x^3 = 14x, \quad x^2 = 7;
\]

\(x = \pm\sqrt{7}, \quad y = \pm\sqrt{7};\)

6) Третье значение:
\[
x^3 + x^3 = 19(x + x); \quad 2x^3 = 38x, \quad x^2 = 19;
\]

\(x = \pm\sqrt{19}, \quad y = \pm\sqrt{19};\)

Ответ:
\[
(0; 0); \quad (-\sqrt{7}; -\sqrt{7}); \quad (\sqrt{7}; \sqrt{7}); \quad (-\sqrt{19};\]

\[\sqrt{19}); \quad (\sqrt{19}; -\sqrt{19}); \quad (-3; -2);\]

\[\quad (-2; -3); \quad (2; 3); \quad (3; 2).
\]

Задана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x^3 — y^3 = 19(x — y), \\
x^3 + y^3 = 7(x + y).
\end{cases}
\]

Шаг 1: Первое уравнение:

Приведем первое уравнение к более удобному виду:

\[
(x — y)(x^2 + xy + y^2) = 19(x — y)
\]

Если \( x \neq y \), то можно разделить обе части на \( (x — y) \), получаем:

\[
x^2 + xy + y^2 = 19
\]

Если \( x = y \), то у нас будет \( 0 = 0 \), что всегда верно. Следовательно, в случае \( x = y \), это решение удовлетворяет первому уравнению.

Таким образом, в первом уравнении \( x = y \) или \( x^2 + xy + y^2 = 19 \).

Шаг 2: Второе уравнение:

Рассмотрим второе уравнение:

\[
(x + y)(x^2 — xy + y^2) = 7(x + y)
\]

Если \( x + y \neq 0 \), то можно разделить обе части на \( (x + y) \), получаем:

\[
x^2 — xy + y^2 = 7
\]

Если \( x + y = 0 \), то \( x = -y \), и это решение также удовлетворяет второму уравнению. Таким образом, в случае \( x + y = 0 \), это решение верно.

Шаг 3: Разность уравнений:

Теперь вычитаем второе уравнение из первого:

\[
(x^2 + xy + y^2) — (x^2 — xy + y^2) = 19 — 7
\]

Упростим:

\[
2xy = 12 \quad \Rightarrow \quad xy = 6
\]

Таким образом, \( xy = 6 \), и мы получаем систему:

\[
xy = 6, \quad x^2 + xy + y^2 = 19
\]

Шаг 4: Решение для значений \( x \) и \( y \):

Из уравнения \( xy = 6 \), выражаем \( y \) через \( x \):

\[
y = \frac{6}{x}
\]

Подставляем это выражение в уравнение \( x^2 + xy + y^2 = 19 \):

\[
x^2 + x \cdot \frac{6}{x} + \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 19
\]

Упрощаем:

\[
x^2 + 6 + \frac{36}{x^2} = 19
\]

Переносим 6 на правую сторону:

\[
x^2 + \frac{36}{x^2} = 13
\]

Умножим обе части на \( x^2 \), получаем квадратное уравнение:

\[
x^4 — 13x^2 + 36 = 0
\]

Шаг 5: Находим дискриминант и корни уравнения:

Для уравнения \( x^4 — 13x^2 + 36 = 0 \) заменим \( z = x^2 \), получаем квадратное уравнение:

\[
z^2 — 13z + 36 = 0
\]

Находим дискриминант:

\[
D = (-13)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 — 144 = 25
\]

Корни уравнения:

\[
z_1 = \frac{13 — 5}{2} = 4, \quad z_2 = \frac{13 + 5}{2} = 9
\]

Таким образом, \( x^2 = 4 \) или \( x^2 = 9 \), откуда \( x = \pm 2 \) или \( x = \pm 3 \).

Шаг 6: Находим значения \( y \):

Для \( x = \pm 2 \), \( y = \frac{6}{2} = 3 \) или \( y = \frac{6}{-2} = -3 \).

Для \( x = \pm 3 \), \( y = \frac{6}{3} = 2 \) или \( y = \frac{6}{-3} = -2 \).

Ответ: \( (0, 0), (-\sqrt{7}, -\sqrt{7}), (\sqrt{7}, \sqrt{7}), (-\sqrt{19},\)

\(\sqrt{19}), (\sqrt{19}, -\sqrt{19}), (-3, -2), (-2, -3), (2, 3), (3, 2) \).