ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1052 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

a) система

(x2 + у2)(х — у) = 447,

ху(х — у) = 210;

б) система

ху(х+y)= 30,

x3 + у3 = 35.

1. Решить систему уравнений:
a)
\[
\begin{cases}
(x^2 + y^2)(x — y) = 447 \\
xy(x — y) = 210
\end{cases}
\]

Частное уравнений:
\[
\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{149}{70} \quad | \cdot 70xy;
\]

\[
70x^2 + 70y^2 = 149xy;
70x^2 — 149xy + 70y^2 = 0;
\]

\[
D = (149y)^2 — 4 \cdot 70 \cdot 70y^2;
D = 22\,201y^2 — 19\,600y^2;\]
\[D = 2\,601y^2 = (51y)^2, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{149y — 51y}{2 \cdot 70} = \frac{98y}{140} = \frac{7y}{10};
x_2 = \frac{149y + 51y}{2 \cdot 70} = \frac{200y}{140} = \frac{10y}{7}.
\]

Первое значение:

\[
\frac{7y}{10} \cdot y \cdot \left(\frac{7y}{10} — y \right) = 210;
\]

\[
\frac{7y^2}{10} \cdot \left(-\frac{3y}{10} \right) = 210;
\]

\[
y^3 = -1\,000, \, y = -10;
x = \frac{7 \cdot (-10)}{10} = -7.
\]

Второе значение:
\[
\frac{10y}{7} \cdot y \cdot \left(\frac{10y}{7} — y \right) = 210;
\]

\[
\frac{10y^2}{7} \cdot \frac{3y}{7} = 210, \, y^3 = 343;
\]

\[
y = 7, \, x = \frac{10 \cdot 7}{7} = 10.
\]

Ответ:
\((-7; -10); (10; 7)\).

2. Решить систему уравнений:
b)
\[
\begin{cases}
xy(x + y) = 30 \\
x^3 + y^3 = 35
\end{cases}
\]

Частное уравнение:
\[
\frac{(x + y)(x^2 — xy + y^2)}{xy(x + y)} = \frac{7}{6};
\]

\[
6x^2 — 6xy + 6y^2 = 7xy;
6x^2 — 13xy + 6y^2 = 0;
\]

\[
D = (13y)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 6y^2;
D = 169y^2 — 144y^2 = 25y^2, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{13y — 5y}{2 \cdot 6} = \frac{8y}{12} = \frac{2y}{3};
x_2 = \frac{13y + 5y}{2 \cdot 6} = \frac{18y}{12} = \frac{3y}{2}.
\]

Первое значение:
\[
\frac{2y}{3} \cdot y \cdot \left(\frac{2y}{3} + y \right) = 30;
\]

\[
\frac{2y^2}{3} \cdot \frac{5y}{3} = 30, \, y^3 = 27;
\]

\[
y = 3, \, x = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2.
\]

Второе значение:
\[
\frac{3y}{2} \cdot y \cdot \left(\frac{3y}{2} + y \right) = 30;
\]

\[
\frac{3y^2}{2} \cdot \frac{5y}{2} = 30, \, y^3 = 8;
\]

\[
y = 2, \, x = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3.
\]

*Ответ:
\((2; 3); (3; 2)\).

1. Решить систему уравнений:

a)

\[
\begin{cases}
(x^2 + y^2)(x — y) = 447 \\
xy(x — y) = 210
\end{cases}
\]

Шаг 1: Частное уравнений:

Разделим первое уравнение на второе:

\[
\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{447}{210} = \frac{149}{70}
\]

Умножим обе части на \( 70xy \):

\[
70(x^2 + y^2) = 149xy
\]

Решаем это уравнение:

\[
70x^2 — 149xy + 70y^2 = 0
\]

Шаг 2: Находим дискриминант:

Теперь находим дискриминант для уравнения относительно \( x \) и \( y \):

\[
D = (149y)^2 — 4 \cdot 70 \cdot 70y^2
\]

Вычисляем дискриминант:

\[
D = 22\,201y^2 — 19\,600y^2 = 2\,601y^2 = (51y)^2
\]

Шаг 3: Находим корни уравнения:

Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{149y — 51y}{2 \cdot 70} = \frac{98y}{140} = \frac{7y}{10}, \quad x_2 = \frac{149y + 51y}{2 \cdot 70} = \frac{200y}{140} = \frac{10y}{7}
\]

Шаг 4: Подставим значения корней в первое уравнение:

Для первого значения \( x_1 = \frac{7y}{10} \):

\[
\frac{7y}{10} \cdot y \cdot \left(\frac{7y}{10} — y \right) = 210
\]

Решаем уравнение:

\[
\frac{7y^2}{10} \cdot \left( -\frac{3y}{10} \right) = 210, \quad y^3 = -1\,000, \quad y = -10
\]

Таким образом, \( x = \frac{7 \cdot (-10)}{10} = -7 \).

Для второго значения \( x_2 = \frac{10y}{7} \):

\[
\frac{10y}{7} \cdot y \cdot \left(\frac{10y}{7} — y \right) = 210
\]

Решаем уравнение:

\[
\frac{10y^2}{7} \cdot \frac{3y}{7} = 210, \quad y^3 = 343, \quad y = 7
\]

Таким образом, \( x = \frac{10 \cdot 7}{7} = 10 \).

Ответ: \( (-7, -10) \) и \( (10, 7) \).

2. Решить систему уравнений:

b)

\[
\begin{cases}
xy(x + y) = 30 \\
x^3 + y^3 = 35
\end{cases}
\]

Шаг 1: Частное уравнение:

Разделим второе уравнение на первое:

\[
\frac{(x + y)(x^2 — xy + y^2)}{xy(x + y)} = \frac{7}{6}
\]

Сокращаем \( x + y \) и получаем:

\[
\frac{x^2 — xy + y^2}{xy} = \frac{7}{6}
\]

Умножим обе части на \( 6xy \):

\[
6x^2 — 6xy + 6y^2 = 7xy
\]

Решаем уравнение:

\[
6x^2 — 13xy + 6y^2 = 0
\]

Шаг 2: Находим дискриминант:

Для уравнения относительно \( x \) и \( y \), находим дискриминант:

\[
D = (13y)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 6y^2 = 169y^2 — 144y^2 = 25y^2
\]

Шаг 3: Находим корни уравнения:

Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{13y — 5y}{2 \cdot 6} = \frac{8y}{12} = \frac{2y}{3}, \quad x_2 = \frac{13y + 5y}{2 \cdot 6} = \frac{18y}{12} = \frac{3y}{2}
\]

Шаг 4: Подставим значения корней в первое уравнение:

Для первого значения \( x_1 = \frac{2y}{3} \):

\[
\frac{2y}{3} \cdot y \cdot \left(\frac{2y}{3} + y \right) = 30
\]

Решаем уравнение:

\[
\frac{2y^2}{3} \cdot \frac{5y}{3} = 30, \quad y^3 = 27, \quad y = 3
\]

Таким образом, \( x = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2 \).

Для второго значения \( x_2 = \frac{3y}{2} \):

\[
\frac{3y}{2} \cdot y \cdot \left(\frac{3y}{2} + y \right) = 30
\]

Решаем уравнение:

\[
\frac{3y^2}{2} \cdot \frac{5y}{2} = 30, \quad y^3 = 8, \quad y = 2
\]

Таким образом, \( x = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3 \).

Ответ: \( (2, 3) \) и \( (3, 2) \).