ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1045 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях m квадратный трёхчлен mх2 + (т — 1)х + m — 1 принимает лишь отрицательные значения?

Значения отрицательны:
\( mx^2 + (m — 1)x + m — 1 < 0 \);

\( D = (m — 1)^2 — 4m(m — 1) < 0 \);

\( m^2 — 2m + 1 — 4m^2 + 4m < 0 \);

\( 3m^2 — 2m — 1 > 0, \, m < 0 \);

\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16 \), тогда:

\( m_1 = \frac{-4}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3} \) и \( m_2 = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = 1 \);

\(\left(m + \frac{1}{3}\right)(m — 1) > 0, \, m < -\frac{1}{3}\);

Ответ: \( m < -\frac{1}{3} \).

Задано неравенство:

\( mx^2 + (m — 1)x + m — 1 < 0 \)

Для нахождения значений \( m \), при которых неравенство выполняется, рассмотрим дискриминант этого квадратного уравнения:

\( D = (m — 1)^2 — 4m(m — 1) \)

Раскроем скобки и упростим дискриминант:

\( D = (m — 1)^2 — 4m(m — 1) = m^2 — 2m + 1 — 4m^2 + 4m \)

\( D = -3m^2 + 2m + 1 \)

Для того чтобы уравнение имело два разных корня, дискриминант должен быть положительным, но так как \( D < 0 \), мы получаем:

\( 3m^2 — 2m — 1 > 0 \)

Шаг 1: Найдем корни уравнения:

Для уравнения \( 3m^2 — 2m — 1 = 0 \) находим дискриминант:

\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \)

Теперь находим корни уравнения:

\( m_1 = \frac{-(-2)}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \) и \( m_2 = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)

Решение неравенства \( 3m^2 — 2m — 1 > 0 \) будет для значений \( m < -\frac{1}{3} \) или \( m > 1 \), но нас интересуют отрицательные значения \( m \), поэтому:

Ответ: \( m < -\frac{1}{3} \)