ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1044 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что многочлен х8 + х6 — 4х4 + х2 + 1 не принимает отрицательных значений.

Доказать неравенство:
\( x^8 + x^6 — 4x^4 + x^2 + 1 \geq 0 \);

\( x^8 — 4x^4 + 1 + x^6 — 2x^4 + x^2 \geq 0 \);

\( (x^4 — 1)^2 + x^2(x^4 — 2x^2 + 1) \geq 0 \);

\( (x^4 — 1)^2 + x^2(x^2 — 1)^2 \geq 0 \);

Неравенство доказано.

Дано неравенство:

\( x^8 + x^6 — 4x^4 + x^2 + 1 \geq 0 \)

Преобразуем его в более удобный вид. Перегруппируем слагаемые:

\( x^8 — 4x^4 + 1 + x^6 — 2x^4 + x^2 \geq 0 \)

Теперь выделим два выражения:

\( (x^4 — 1)^2 + x^2(x^4 — 2x^2 + 1) \geq 0 \)

Это выражение состоит из суммы двух частей. Первая часть \( (x^4 — 1)^2 \) всегда неотрицательна, так как это квадрат. Вторая часть \( x^2(x^4 — 2x^2 + 1) \) также неотрицательна, так как \( x^2 \geq 0 \), а выражение \( x^4 — 2x^2 + 1 \) также неотрицательно.

Чтобы это доказать, можно заметить, что выражение \( x^4 — 2x^2 + 1 \) можно записать как \( (x^2 — 1)^2 \), что является квадратом, и поэтому всегда неотрицательно.

Таким образом, мы получаем следующее:

\( (x^4 — 1)^2 + x^2(x^2 — 1)^2 \geq 0 \)

Ответ: Неравенство доказано.