ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1040 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любых значениях а, b и с график функции у = (х — а)(х — b) — с2 имеет хотя бы одну общую точку с осью х.

Имеет хотя бы один нуль:
y = (x — a)(x — b) — c²;
y = x² — (a + b)x + ab — c²;
D = (a + b)² — 4(ab — c²) ≥ 0;
a² + 2ab + b² — 4ab + 4c² ≥ 0;
a² — 2ab + b² + 4c² ≥ 0;
(a — b)² + 4c² ≥ 0;

Что и требовалось доказать.

Задано уравнение:

\( y = (x — a)(x — b) — c^2 \)

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

\( y = x^2 — (a + b)x + ab — c^2 \)

Теперь рассмотрим дискриминант этого квадратного уравнения:

\( D = (a + b)^2 — 4(ab — c^2) \)

Раскроем дискриминант:

\( D = (a + b)^2 — 4ab + 4c^2 \)

Упростим выражение для дискриминанта:

\( D = a^2 + 2ab + b^2 — 4ab + 4c^2 \)

После упрощения получаем:

\( D = a^2 — 2ab + b^2 + 4c^2 \)

Дискриминант должен быть неотрицательным для того, чтобы уравнение имело хотя бы один корень. Поскольку:

\( D = (a — b)^2 + 4c^2 \geq 0 \), так как квадрат любого числа и удвоенная сумма \( c^2 \) всегда неотрицательны.

Ответ: Уравнение всегда имеет хотя бы один корень, так как дискриминант всегда неотрицателен.