ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1040 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любых значениях а, b и с график функции у = (х — а)(х — b) — с2 имеет хотя бы одну общую точку с осью х.

Имеет хотя бы один нуль:

\( y = (x — a)(x — b) — c^2; \)

\( y = x^2 — (a + b)x + ab — c^2; \)

\( D = (a + b)^2 — 4(ab — c^2) \geq 0; \)

\( a^2 + 2ab + b^2 — 4ab + 4c^2 \geq 0; \)

\( (a — b)^2 + 4c^2 \geq 0; \)

Что и требовалось доказать.

1. Рассматриваем функцию \( y=(x-a)(x-b)-c^2 \). Точка пересечения графика с осью \( x \) — это такая абсцисса \( x \), при которой значение функции равно нулю, то есть существует действительное решение уравнения \( (x-a)(x-b)-c^2=0 \).

2. Приведём выражение к стандартному квадратному виду по переменной \( x \):
\( (x-a)(x-b)-c^2=x^2-(a+b)x+ab-c^2 \).
Итак, имеем квадратное уравнение
\( x^2-(a+b)x+ab-c^2=0 \).

3. Для существования действительных корней квадратного уравнения достаточно неотрицательности дискриминанта. Вычислим дискриминант:
\( D=(a+b)^2-4(ab-c^2)=a^2+2ab+b^2-4ab+4c^2=(a-b)^2+4c^2 \).

4. Оценка дискриминанта: сумма квадратов неотрицательна для любых действительных \( a,b,c \), следовательно
\( D=(a-b)^2+4c^2\ge 0 \).
Отсюда квадратное уравнение \( x^2-(a+b)x+ab-c^2=0 \) имеет по крайней мере один действительный корень для любых значений параметров \( a,b,c \). Значит, график \( y=(x-a)(x-b)-c^2 \) обязательно имеет хотя бы одну общую точку с осью \( x \).

5. Точнее, если \( D>0 \) (то есть \( (a-b)^2+4c^2>0 \)), то корней два и график пересекает ось \( x \) в двух точках. Если \( D=0 \), что возможно только при \( a=b \) и \( c=0 \), то корень единственный и график касается оси \( x \) в точке \( x=a \), поскольку тогда \( y=(x-a)^2 \).

6. Альтернативное доказательство (дополнительно): выполним выделение полного квадрата:
\( (x-a)(x-b)-c^2=x^2-(a+b)x+ab-c^2=\)

\(\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2-c^2 \).
Обозначим \( m=\frac{a+b}{2} \) и \( k=\sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2+c^2} \) (здесь \( k\ge 0 \) для любых \( a,b,c \)). Тогда
\( y=\left(x-m\right)^2-k^2=(x-m-k)(x-m+k) \).
Уравнение \( y=0 \) имеет решения
\( x=m\pm k=\frac{a+b}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2+c^2} \),
которые всегда действительны (корень под радикалом неотрицателен). Следовательно, существует хотя бы одно решение и, значит, хотя бы одна общая точка с осью \( x \).

Итог: при любых действительных \( a,b,c \) график функции \( y=(x-a)(x-b)-c^2 \) имеет по крайней мере одну (а обычно две) общую точку с осью \( x \).