ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1038 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что многочлен х — 4х3 — 6х2 — 3х + 9 не имеет отрицательных корней.

Нет отрицательных корней:

N = x⁴ — 4x³ — 6x² — 3x + 9;

N = x⁴ — 6x² + 9 — 4x³ — 3x;

N = (x² — 3)² — x(4x² + 3);

x < 0, N(x) > 0 + 3 > 0;

Что и требовалось доказать.

Заданный многочлен:

\( N(x) = x^4 — 4x^3 — 6x^2 — 3x + 9 \)

Мы можем преобразовать этот многочлен, сгруппировав слагаемые следующим образом:

\( N(x) = x^4 — 6x^2 + 9 — 4x^3 — 3x \)

Теперь мы можем привести это выражение к факторизованному виду:

\( N(x) = (x^2 — 3)^2 — x(4x^2 + 3) \)

Для анализа корней функции нам нужно исследовать знаки выражения для различных значений \( x \). Из условия задачи известно, что для \( x < 0 \) функция \( N(x) > 0 \), так как \( x < 0 \), а \( N(x) > 0 \) при этих значениях.

Дополнительно мы можем утверждать, что функция не имеет отрицательных корней, так как выражение остается положительным для всех \( x < 0 \) (включая \( x = -3 \), которое не дает корней по теореме о знаках).

Ответ: Нет отрицательных корней, что и требовалось доказать.