ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1037 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Если в многочлен ах3 + bх2 + сх + d вместо а, b, с и d подставлять числа -7, 4, -3 и 6 в каком угодно порядке, будут получаться многочлены с одной переменной, например -7х3 + 4×2 — 3х + 6, 4х3 — 7х2 + 6x — 3 и т. д. Докажите, что все такие многочлены имеют общий корень.

Имеется многочлен:
\[ N(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d; \]

\[ S_{a+b+c+d} = -7 + 4 — 3 + 6 = 0; \]

\[ N(1) = a + b + c + d = 0, \, x = 1; \]

Что и требовалось доказать.

Дан многочлен:

\( N(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)

Для того, чтобы найти сумму коэффициентов \( a + b + c + d \), нужно подставить \( x = 1 \) в многочлен. Получим:

\( N(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d \)

Это упростится до:

\( N(1) = a + b + c + d \)

Теперь подставим значения коэффициентов:

\( S_{a+b+c+d} = -7 + 4 — 3 + 6 = 0 \)

Ответ: \( N(1) = a + b + c + d = 0 \), что и требовалось доказать.