ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1037 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Если в многочлен ах3 + bх2 + сх + d вместо а, b, с и d подставлять числа -7, 4, -3 и 6 в каком угодно порядке, будут получаться многочлены с одной переменной, например -7х3 + 4×2 — 3х + 6, 4х3 — 7х2 + 6x — 3 и т. д. Докажите, что все такие многочлены имеют общий корень.

Имеется многочлен:
\[ N(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d; \]

\[ S_{a+b+c+d} = -7 + 4 — 3 + 6 = 0; \]

\[ N(1) = a + b + c + d = 0, \, x = 1; \]

Что и требовалось доказать.

1. Рассмотрим многочлен вида \( P(x)=ax^3+bx^2+cx+d \), где \( a,b,c,d \) — это те же самые четыре числа из множества \( \{-7,\,4,\,-3,\,6\} \), взятые в любом порядке (то есть произвольная перестановка этих четырёх значений между коэффициентами при степенях \( x^3,x^2,x,x^0 \)).

2. Сложение действительных чисел коммутативно и ассоциативно, поэтому сумма коэффициентов не зависит от их порядка. Следовательно, как бы мы ни переставляли числа между \( a,b,c,d \), величина \( a+b+c+d \) остаётся постоянной и равной сумме исходного набора чисел:
\( a+b+c+d=(-7)+4+(-3)+6=0 \).

3. Вычислим значение многочлена при \( x=1 \). Подстановка \( x=1 \) даёт
\( P(1)=a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=a+b+c+d=0 \).
Поскольку это верно для любой перестановки коэффициентов, получаем, что для любого такого многочлена \( P(1)=0 \).

4. По теореме о корнях (или по теореме Безу) равенство \( P(1)=0 \) эквивалентно делимости многочлена \( P(x) \) на \( x-1 \). Значит, число \( x=1 \) является корнем каждого многочлена из описанного семейства, то есть все эти многочлены имеют общий корень \( x=1 \).

5. Иллюстрация на примерах (для проверки):
\( P_1(x)=-7x^3+4x^2-3x+6 \Rightarrow P_1(1)=-7+4-3+6=0 \);
\( P_2(x)=4x^3-7x^2+6x-3 \Rightarrow P_2(1)=4-7+6-3=0 \). В обоих случаях \( x=1 \) — корень, как и предсказано общим рассуждением.

Вывод: все многочлены, получающиеся подстановкой чисел \( -7,\,4,\,-3,\,6 \) в каком угодно порядке в коэффициенты \( a,b,c,d \) многочлена \( ax^3+bx^2+cx+d \), имеют общий корень \( x=1 \).