ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1026 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Постройте график функции у = -0,5х2 + х + 1,5. При каких значениях х значение у равно нулю; больше нуля; меньше нуля? В каком промежутке эта функция возрастает и в каком промежутке убывает? Каково наибольшее значение этой функции?

Задана функция:

\[ y = x — 0,5x^2 + 1,5 \]

1) Нули функции:
\[
-0,5x^2 + x + 1,5 = 0;
\]

\[
x^2 — 2x — 3 = 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда: }
\]

\[
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\]

2) Значения аргумента:
\[
y < 0, \quad x < -1, \quad x > 3;
\]

\[
y > 0, \quad -1 < x < 3;
\]

3) Промежутки монотонности:
\[
x_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-0,5)} = \frac{1}{2 \cdot 0,5} = 1;
\]
Возрастает на \((- \infty; 1]\);
Убывает на \([1; +\infty)\).

4) Наибольшее значение:
\[
y_0 = -0,5 + 1 + 1,5 = 2;
\]

\[
y_{\text{наиб}} = y(1) = 2;
\]

5) График функции:

Задана функция: \( y = x — 0,5x^2 + 1,5 \)

1) Нули функции:

Для нахождения нулей функции решаем уравнение:

\( -0,5x^2 + x + 1,5 = 0 \)

Приводим уравнение к стандартному виду:

\( 0,5x^2 — x — 1,5 = 0 \)

Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:

\( x^2 — 2x — 3 = 0 \)

Шаг 1: Находим дискриминант (D)

Для уравнения \( x^2 — 2x — 3 = 0 \), находим дискриминант:

\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

Шаг 2: Находим корни уравнения

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)

Ответ: Нули функции: \( x = -1 \) и \( x = 3 \)

2) Значения аргумента:

Решаем неравенства для определения значений аргумента \( x \), при которых функция принимает положительные и отрицательные значения.

Для \( y < 0 \):

\( x < -1 \) или \( x > 3 \)

Для \( y > 0 \):

\( -1 < x < 3 \)

Ответ: \( y < 0 \), \( x < -1 \) или \( x > 3 \); \( y > 0 \), \( -1 < x < 3 \)

3) Промежутки монотонности:

Для нахождения промежутков монотонности находим первую производную функции:

\( y’ = 1 — x \)

Теперь находим точку экстремума, приравнивая производную к нулю:

\( 1 — x = 0 \), \( x_0 = 1 \)

Для анализа монотонности исследуем знак производной:

Функция возрастает на интервале \( (-\infty; 1] \) и убывает на интервале \( [1; +\infty) \).

Ответ: Возрастает на \( (-\infty; 1] \), убывает на \( [1; +\infty) \)

4) Наибольшее значение:

Наибольшее значение функции достигается в точке экстремума \( x = 1 \), подставляем в уравнение функции:

\( y_0 = -0,5(1)^2 + 1 + 1,5 = 2 \)

Ответ: \( y_{\text{наиб}} = 2 \)

5) График функции:

График функции представляет собой параболу, которая имеет вершину в точке \( (1, 2) \) и открывается вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) отрицателен.