ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1017 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите область определения каждого из выражений:

Найти область определения:

а)
\[
2x — 5, \, \frac{1}{2x — 5}, \, \sqrt{2x — 5};
\]

\[
2x — 5 \geq 0, \, 2x \geq 5, \, x \geq 2,5;
\]

Ответ:

\[
R; \, x \neq 2,5; \, x \geq 2,5.
\]

б)
\[
2x^2 + 7x — 4, \, \frac{1}{2x^2 + 7x — 4}, \, \sqrt{\frac{1}{2x^2 + 7x — 4}};
\]

\[
D = 7^2 + 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 + 32 = 81 = 9^2,
\]

тогда:

\[
x_1 = \frac{-7 — 9}{2 \cdot 2} = -4, \, x_2 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = 0,5;
\]

\[
(x + 4)(x — 0,5) \geq 0, \, x \leq -4, \, x \geq 0,5;
\]

Ответ:

\[
R; \, x \neq -4 \, \text{и} \, x \neq 0,5; \, x < -4 \, \text{и} \, x > 0,5.
\]

в)
\[
x^2 + 1, \, \sqrt{x^2 + 1}, \, \frac{1}{x^2 + 1};
\]

\[
x^2 + 1 > 0, \, x^2 \geq -1, \, x \in R;
\]

Ответ:

\[
R; \, R; \, R.
\]

а)

Найти область определения:

Функции: \( 2x — 5, \, \frac{1}{2x — 5}, \, \sqrt{2x — 5} \)

Область определения:

Для всех трёх выражений, под квадратным корнем и в знаменателе, \( 2x — 5 \) должно быть неотрицательным, а также должно быть больше нуля для дроби:

\( 2x — 5 \geq 0, \, 2x \geq 5, \, x \geq 2,5 \)

Ответ: \( \mathbb{R}, \, x \neq 2,5; \, x \geq 2,5 \)

б)

Найти область определения:

Функции: \( 2x^2 + 7x — 4, \, \frac{1}{2x^2 + 7x — 4}, \, \sqrt{\frac{1}{2x^2 + 7x — 4}} \)

Область определения:

Для второй и третьей функции, \( 2x^2 + 7x — 4 \) должно быть положительным, то есть:

\( D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 + 32 = 81 = 9^2 \)

Корни уравнения \( 2x^2 + 7x — 4 = 0 \):

\( x_1 = \frac{-7 — 9}{2 \cdot 2} = -4, \, x_2 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = 0,5 \)

Неравенство принимает вид \( (x + 4)(x — 0,5) \geq 0 \), то есть \( x \leq -4 \) или \( x \geq 0,5 \).

Но дробь не определена в точках \( x = -4 \) и \( x = 0,5 \), так как в этих точках выражение в знаменателе обращается в ноль.

Ответ: \( \mathbb{R}, \, x \neq -4 \, \text{и} \, x \neq 0,5; \, x < -4 \, \text{и} \, x > 0,5 \)

в)

Найти область определения:

Функции: \( x^2 + 1, \, \sqrt{x^2 + 1}, \, \frac{1}{x^2 + 1} \)

Область определения:

Для всех трёх выражений, \( x^2 + 1 \) всегда больше нуля, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен и прибавление 1 делает его строго положительным:

\( x^2 + 1 > 0, \, x^2 \geq -1, \, x \in \mathbb{R} \)

Ответ: \( \mathbb{R}, \, \mathbb{R}, \, \mathbb{R} \)