ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1013 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любых х:

а) трёхчлен х^2 — Зх + 200 принимает положительные значения;

б) трёхчлен -х^2 + 22х — 125 принимает отрицательные значения;

в) трёхчлен х^2 — 16х + 64 принимает неотрицательные значения;

г) трёхчлен 10х — х^2 — 25 принимает неположительные значения.

а)
\[
x^2 — 3x + 200 > 0;
\]

\[
D = 3^2 — 4 \cdot 200 < 0;
\]

\[
D < 0 \, \text{и} \, a = 1 > 0;
\]

Неравенство доказано.

б)
\[
-x^2 + 22x — 125 < 0;
\]

\[
D = 22^2 — 4 \cdot 125 < 0;
\]

\[
D < 0 \, \text{и} \, a = -1 < 0;
\]

Неравенство доказано.

в)
\[
x^2 — 16x + 64 \geq 0;
\]

\[
x^2 — 2 \cdot 8x + 8^2 \geq 0;
\]

\[
(x — 8)^2 \geq 0;
\]

Неравенство доказано.

г)
\[
10x — x^2 — 25 \leq 0;
\]

\[
x^2 — 2 \cdot 5x + 5^2 \geq 0;
\]

\[
(x — 5)^2 \geq 0;
\]

Неравенство доказано.

а)

Неравенство: \( x^2 — 3x + 200 > 0 \)

Шаг 1: Находим дискриминант (D)

Для уравнения \( x^2 — 3x + 200 = 0 \), находим дискриминант:

\( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 200 = 9 — 800 = -791 \)

Шаг 2: Дискриминант отрицателен

Так как \( D < 0 \), то у уравнения нет действительных корней. Парабола не пересекает ось \( x \).

Шаг 3: А-коэффициент положительный

Коэффициент \( a = 1 > 0 \), следовательно, парабола открывается вверх, и неравенство \( x^2 — 3x + 200 > 0 \) выполняется для всех \( x \) из \( \mathbb{R} \).

Ответ: Неравенство доказано.

б)

Неравенство: \( -x^2 + 22x — 125 < 0 \)

Шаг 1: Находим дискриминант (D)

Для уравнения \( -x^2 + 22x — 125 = 0 \), находим дискриминант:

\( D = 22^2 — 4 \cdot (-1) \cdot (-125) = 484 — 500 = -16 \)

Шаг 2: Дискриминант отрицателен

Так как \( D < 0 \), то у уравнения нет действительных корней. Парабола не пересекает ось \( x \).

Шаг 3: А-коэффициент отрицательный

Коэффициент \( a = -1 < 0 \), следовательно, парабола открывается вниз, и неравенство \( -x^2 + 22x — 125 < 0 \) выполняется для всех \( x \) из \( \mathbb{R} \).

Ответ: Неравенство доказано.

в)

Неравенство: \( x^2 — 16x + 64 \geq 0 \)

Шаг 1: Преобразуем выражение

Преобразуем выражение в полный квадрат:

\( x^2 — 16x + 64 = (x — 8)^2 \)

Шаг 2: Доказательство неравенства

Так как квадрат любого числа не отрицателен, то \( (x — 8)^2 \geq 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \).

Ответ: Неравенство доказано.

г)

Неравенство: \( 10x — x^2 — 25 \leq 0 \)

Шаг 1: Преобразуем выражение

Преобразуем выражение в полный квадрат:

\( 10x — x^2 — 25 = -(x^2 — 10x + 25) = -(x — 5)^2 \)

Шаг 2: Доказательство неравенства

Так как квадрат любого числа не отрицателен, то \( -(x — 5)^2 \leq 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \).

Ответ: Неравенство доказано.