ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1011 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) x2 + 2х — 15 < 0;

б) 5×2 — 11x + 2 > = 0;

в) 10 — 3×2 < = 5x — 2;

г) (2x + 3)(2 — х) > 3;

д) 2×2 — 0,5 < = 0;

е) 3×2 + 3,6x > 0;

ж) (0,2 — x)(0,2 + x) < 0;

з) x(3x — 2,4) > 0.

Решить неравенство:

а)
\[
x^2 + 2x — 15 < 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64,
\]
тогда:
\[
x_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5, \, x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3;
\]

\[
(x + 5)(x — 3) < 0, \, -5 < x < 3;
\]

Ответ: \((-5; 3)\).

б)
\[
5x^2 — 11x + 2 \geq 0;
\]

\[
D = 11^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 — 40 = 81,
\]
тогда:
\[
x_1 = \frac{11 — 9}{2 \cdot 5} = -0,2, \, x_2 = \frac{11 + 9}{2 \cdot 5} = 2;
\]

\[
(x + 0,2)(x — 2) \geq 0, \, x \leq -0,2, \, x \geq 2;
\]

Ответ: \((-\infty; -0,2] \cup [2; +\infty)\).

в)
\[
10 — 3x^2 \leq 5x — 2;
\]

\[
3x^2 + 5x — 12 \geq 0;
\]

\[
D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 12 = 25 + 144 = 169,
\]
тогда:
\[
x_1 = \frac{-5 — 13}{2 \cdot 3} = -3, \, x_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{4}{3};
\]

\[
(x + 3)(x — \frac{4}{3}) \geq 0, \, x \leq -3, \, x \geq \frac{4}{3};
\]

Ответ: \((-\infty; -3] \cup [ 1 \frac{1}{3}; +\infty)\).

г)
\[
(2x + 3)(2 — x) > 3;
\]

\[
4x — 2x^2 + 6 — 3x > 3;
\]

\[
2x^2 — x — 3 < 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 24 = 25,
\]
тогда:
\[
x_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 2} = -1, \, x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = 1,5;
\]

\[
(x + 1)(x — 1,5) < 0, \, -1 < x < 1,5;
\]

Ответ: \((-1; 1,5)\).

д)
\[
2x^2 — 0,5 \leq 0;
\]

\[
2 \cdot (x^2 — 0,25) \leq 0;
\]

\[
(x + 0,5)(x — 0,5) \leq 0;
\]

\[
-0,5 \leq x \leq 0,5;
\]

Ответ: \([-0,5; 0,5]\).

е)
\[
3x^2 + 3,6x > 0;
\]

\[
3x \cdot (x + 1,2) > 0;
\]

\[
x < -1,2, \, x > 0;
\]

Ответ: \((-\infty; -1,2) \cup (0; +\infty)\).

ж)
\[
(0,2 — x)(0,2 + x) < 0;
\]

\[
(x + 0,2)(x — 0,2) > 0;
\]

\[
x < -0,2, \, x > 0,2;
\]

Ответ: \((-\infty; -0,2) \cup (0,2; +\infty)\).

з)
\[
x(3x — 2,4) > 0;
\]

\[
x \cdot (x — 0,8) > 0;
\]

\[
x < 0, \, x > 0,8;
\]

Ответ: \((-\infty; 0) \cup (0,8; +\infty)\).

а)

Неравенство: \( x^2 + 2x — 15 < 0 \)

Шаг 1: Найдем дискриминант (D)

Для решения квадратного неравенства \( ax^2 + bx + c = 0 \), находим дискриминант по формуле:

\( D = b^2 — 4ac \)

Здесь \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -15 \). Подставляем в формулу:

\( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \)

Шаг 2: Находим корни уравнения

Теперь находим корни квадратного уравнения \( x^2 + 2x — 15 = 0 \) с помощью формулы:

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

Подставляем значения:

\( x_1 = \frac{-2 — \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 — 8}{2} = -5 \)

\( x_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3 \)

Шаг 3: Разбираем знаки произведения

Имеем неравенство вида \( (x + 5)(x — 3) < 0 \). Чтобы решить его, нужно определить, при каких значениях \( x \) произведение этих двух выражений меньше нуля.

Рассмотрим знак каждого множителя на интервалах, образованных корнями \( x_1 = -5 \) и \( x_2 = 3 \):

• На интервале \( (-\infty, -5) \), оба множителя положительные, произведение положительное.
• На интервале \( (-5, 3) \), первый множитель отрицательный, второй — положительный, произведение отрицательное.
• На интервале \( (3, +\infty) \), оба множителя положительные, произведение положительное.

Итак, \( (x + 5)(x — 3) < 0 \) выполняется на интервале \( -5 < x < 3 \).

Ответ: \( (-5; 3) \)

б)

Неравенство: \( 5x^2 — 11x + 2 \geq 0 \)

Шаг 1: Найдем дискриминант (D)

\( D = 11^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 — 40 = 81 \)

Шаг 2: Находим корни уравнения

\( x_1 = \frac{11 — 9}{2 \cdot 5} = -0,2, \, x_2 = \frac{11 + 9}{2 \cdot 5} = 2 \)

Шаг 3: Разбираем знаки произведения

Неравенство принимает вид \( (x + 0,2)(x — 2) \geq 0 \). Чтобы решить это неравенство, определим знаки произведения на интервалах, образованных корнями \( x_1 = -0,2 \) и \( x_2 = 2 \):

• На интервале \( (-\infty, -0,2) \), оба множителя отрицательные, произведение положительное.
• На интервале \( (-0,2, 2) \), первый множитель положительный, второй — отрицательный, произведение отрицательное.
• На интервале \( (2, +\infty) \), оба множителя положительные, произведение положительное.

Итак, решение неравенства: \( x \leq -0,2 \) или \( x \geq 2 \).

Ответ: \( (-\infty; -0,2] \cup [2; +\infty) \)

в)

Неравенство: \( 10 — 3x^2 \leq 5x — 2 \)

Шаг 1: Переносим все выражения в одну сторону

\( 3x^2 + 5x — 12 \geq 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант (D)

\( D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 12 = 25 + 144 = 169 \)

Шаг 3: Находим корни уравнения

\( x_1 = \frac{-5 — 13}{2 \cdot 3} = -3, \, x_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{4}{3} \)

Шаг 4: Разбираем знаки произведения

Неравенство принимает вид \( (x + 3)(x — \frac{4}{3}) \geq 0 \). Определим знаки произведения на интервалах, образованных корнями \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = \frac{4}{3} \):

• На интервале \( (-\infty, -3) \), оба множителя положительные, произведение положительное.
• На интервале \( (-3, \frac{4}{3}) \), первый множитель отрицательный, второй — положительный, произведение отрицательное.
• На интервале \( (\frac{4}{3}, +\infty) \), оба множителя положительные, произведение положительное.

Итак, решение неравенства: \((-\infty; -3] \cup [ 1 \frac{1}{3}; +\infty)\).

Ответ: \((-\infty; -3] \cup [ 1 \frac{1}{3}; +\infty)\).

г)

Неравенство: \( (2x + 3)(2 — x) > 3 \)

Шаг 1: Переносим все выражения в одну сторону

\( 4x — 2x^2 + 6 — 3x > 3 \)

\( 2x^2 — x — 3 < 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант (D)

\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 24 = 25 \)

Шаг 3: Находим корни уравнения

\( x_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 2} = -1, \, x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = 1,5 \)

Шаг 4: Разбираем знаки произведения

Неравенство принимает вид \( (x + 1)(x — 1,5) < 0 \). Определим знаки произведения на интервалах, образованных корнями \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 1,5 \):

• На интервале \( (-\infty, -1) \), оба множителя отрицательные, произведение положительное.
• На интервале \( (-1, 1,5) \), первый множитель положительный, второй — отрицательный, произведение отрицательное.
• На интервале \( (1,5, +\infty) \), оба множителя положительные, произведение положительное.

Итак, решение неравенства: \( -1 < x < 1,5 \).

Ответ: \( (-1; 1,5) \)

д)

Неравенство: \( 2x^2 — 0,5 \leq 0 \)

Шаг 1: Переносим все выражения в одну сторону

\( 2 \cdot (x^2 — 0,25) \leq 0 \)

Шаг 2: Разбираем знаки произведения

\( (x + 0,5)(x — 0,5) \leq 0 \)

Шаг 3: Находим решение неравенства

Решение: \( -0,5 \leq x \leq 0,5 \)

Ответ: \( [-0,5; 0,5] \)

е)

Неравенство: \( 3x^2 + 3,6x > 0 \)

Шаг 1: Переносим все выражения в одну сторону

\( 3x \cdot (x + 1,2) > 0 \)

Шаг 2: Разбираем знаки произведения

Неравенство имеет вид \( x < -1,2 \) или \( x > 0 \).

Ответ: \( (-\infty; -1,2) \cup (0; +\infty) \)

ж)

Неравенство: \( (0,2 — x)(0,2 + x) < 0 \)

Шаг 1: Переносим все выражения в одну сторону

\( (x + 0,2)(x — 0,2) > 0 \)

Шаг 2: Разбираем знаки произведения

Решение: \( x < -0,2 \) или \( x > 0,2 \).

Ответ: \( (-\infty; -0,2) \cup (0,2; +\infty) \)

з)

Неравенство: \( x(3x — 2,4) > 0 \)

Шаг 1: Разбираем знаки произведения

\( x \cdot (x — 0,8) > 0 \)

Шаг 2: Разбираем знаки произведения

Решение: \( x < 0 \) или \( x > 0,8 \).

Ответ: \( (-\infty; 0) \cup (0,8; +\infty) \)