ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1007 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:

a)
\[
\begin{cases}
2x — 3(x + 1) < x + 8 \\
6x(x — 1) — (2x + 2)(3x — 3) > 0
\end{cases}
\]

Первое неравенство:
\[2x — 3x — 3 < x + 8;\]

\[2x > -11, \ x > -5.5;\]

Второе неравенство:
\[6x^2 — 6x — 6x^2 + 6x — 6x + 6 > 0;\]

\[6 — 6x > 0, \ 1 — x > 0, \ x < 1;\]

Ответ: \((-5.5; 1).\)

б)
\[
\begin{cases}
10(x — 1) — 5(x + 1) > 4x — 11 \\
x^2 — (x + 2)(x — 2) < 3x
\end{cases}
\]

Первое неравенство:
\[10x — 10 — 5x — 5 > 4x — 11;\]

\[x > 15 — 11, \ x > 4;\]

Второе неравенство:
\[x^2 + 4 < 3x;\]

\[3x > 4, \ x > \frac{4}{3};\]

Ответ: \((4; +\infty).\)

в)
\[
\begin{cases}
x — \frac{4x — 1}{3} < 10 \\
4x — 1 — \frac{x}{3} < 10
\end{cases}
\]

Первое неравенство:
\[3x — 4x + 1 < 30;\]

\[x > 1 — 30, \ x > -29;\]

Второе неравенство:
\[12x — 3 — x < 30;\]

\[11x < 33, \ x < 3;\]

Ответ: \((-29; 3).\)

г)
\[
\begin{cases}
3y — \frac{2y + 1}{2} > 4 — \frac{2 — y}{3} — y \\
\frac{5y — 1}{3} — (y — 1) > 3y
\end{cases}
\]

Первое неравенство:
\[18y — 3(2y + 1) > 24 — 2(2 — y) — 6y;\]

\[18y — 6y — 3 > 24 — 4 + 2y — 6y;\]

\[16y > 23, \ y > \frac{7}{16};\]

Второе неравенство:
\[5y — 1 — 3(y — 1) > 9y;\]

\[5y — 1 — 3y + 3 > 9y;\]

\[7y < 2, \ y < \frac{2}{7};\]

Ответ: решений нет.

a)

Рассмотрим систему неравенств:
\( \begin{cases} 2x — 3(x + 1) < x + 8 \\ 6x(x — 1) — (2x + 2)(3x — 3) > 0 \end{cases} \)

Первое неравенство: \( 2x — 3(x + 1) < x + 8 \)
Раскрываем скобки:
\( 2x — 3x — 3 < x + 8 \)
Упрощаем:
\( -x — 3 < x + 8 \)
Переносим все термины, содержащие \( x \), на одну сторону, а числовые на другую:
\( -x — x < 8 + 3 \)
Упрощаем:
\( -2x < 11 \)
Разделим обе стороны на -2 (не забываем, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется):
\( x > -5.5 \)

Второе неравенство: \( 6x(x — 1) — (2x + 2)(3x — 3) > 0 \)
Раскрываем скобки:
\( 6x^2 — 6x — (6x^2 — 6x + 6x — 6) > 0 \)
Упрощаем:
\( 6x^2 — 6x — 6x^2 + 6x — 6 > 0 \)
Убираем похожие члены:
\( 6 — 6x > 0 \)
Переносим все термины с \( x \) на одну сторону:
\( 1 — x > 0 \)
Разделим обе стороны на -1 (поменяется знак неравенства):
\( x < 1 \)

Ответ: Пересечение решений \( x > -5.5 \) и \( x < 1 \) даёт: \( x \in (-5.5; 1) \).

б)

Рассмотрим систему неравенств:
\( \begin{cases} 10(x — 1) — 5(x + 1) > 4x — 11 \\ x^2 — (x + 2)(x — 2) < 3x \end{cases} \)

Первое неравенство: \( 10(x — 1) — 5(x + 1) > 4x — 11 \)
Раскрываем скобки:
\( 10x — 10 — 5x — 5 > 4x — 11 \)
Упрощаем:
\( 5x — 15 > 4x — 11 \)
Переносим все термины с \( x \) на одну сторону, а числовые на другую:
\( 5x — 4x > -11 + 15 \)
Упрощаем:
\( x > 4 \)

Второе неравенство: \( x^2 — (x + 2)(x — 2) < 3x \)
Раскрываем скобки:
\( x^2 — (x^2 — 4) < 3x \)
Упрощаем:
\( x^2 — x^2 + 4 < 3x \)
Убираем \( x^2 \):
\( 4 < 3x \)
Разделим обе стороны на 3:
\( x > \frac{4}{3} \)

Ответ: Пересечение решений \( x > 4 \) и \( x > \frac{4}{3} \) даёт: \( x \in (4; +\infty) \).

в)

Рассмотрим систему неравенств:
\( \begin{cases} x — \frac{4x — 1}{3} < 10 \\ 4x — 1 — \frac{x}{3} < 10 \end{cases} \)

Первое неравенство: \( x — \frac{4x — 1}{3} < 10 \)
Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
\( 3x — (4x — 1) < 30 \)
Раскрываем скобки:
\( 3x — 4x + 1 < 30 \)
Упрощаем:
\( -x + 1 < 30 \)
Переносим все термины на одну сторону:
\( -x < 29 \)
Разделим обе стороны на -1 (меняется знак неравенства):
\( x > -29 \)

Второе неравенство: \( 4x — 1 — \frac{x}{3} < 10 \)
Умножим обе части на 3:
\( 12x — 3 — x < 30 \)
Упрощаем:
\( 11x — 3 < 30 \)
Переносим все термины на одну сторону:
\( 11x < 33 \)
Разделим обе стороны на 11:
\( x < 3 \)

Ответ: Пересечение решений \( x > -29 \) и \( x < 3 \) даёт: \( x \in (-29; 3) \).

г)

Рассмотрим систему неравенств:
\( \begin{cases} 3y — \frac{2y + 1}{2} > 4 — \frac{2 — y}{3} — y \\ \frac{5y — 1}{3} — (y — 1) > 3y \end{cases} \)

Первое неравенство: \( 3y — \frac{2y + 1}{2} > 4 — \frac{2 — y}{3} — y \)
Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное 2 и 3):
\( 18y — 3(2y + 1) > 24 — 2(2 — y) — 6y \)
Раскрываем скобки:
\( 18y — 6y — 3 > 24 — 4 + 2y — 6y \)
Упрощаем:
\( 16y — 3 > 20 — 4y \)
Переносим все термины на одну сторону:
\( 16y + 4y > 20 + 3 \)
Упрощаем:
\( 20y > 23 \)
Разделим обе стороны на 20:
\( y > \frac{7}{16} \)

Второе неравенство: \( \frac{5y — 1}{3} — (y — 1) > 3y \)
Умножим обе части на 3:
\( 5y — 1 — 3(y — 1) > 9y \)
Раскрываем скобки:
\( 5y — 1 — 3y + 3 > 9y \)
Упрощаем:
\( 2y + 2 > 9y \)
Переносим все термины на одну сторону:
\( 2y — 9y < -2 \)
Упрощаем:
\( -7y < -2 \)
Разделим обе стороны на -7 (меняется знак неравенства):
\( y < \frac{2}{7} \)

Ответ: Пересечение решений \( y > \frac{7}{16} \) и \( y < \frac{2}{7} \) не существует. Решений нет.