ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1000 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Даны выражения:
\(2,6 < \sqrt{7} < 2,7;\)

\(2,2 < \sqrt{5} < 2,3;\)

а) Сумма данных выражений:
\[2,6 + 2,2 < \sqrt{7} + \sqrt{5} < 2,7 + 2,3;\]

\[4,8 < \sqrt{7} + \sqrt{5} < 5;\]

б) Разность этих выражений:
\[2,6 — 2,3 < \sqrt{7} — \sqrt{5} < 2,7 — 2,2;\]

\[0,3 < \sqrt{7} — \sqrt{5} < 0,5;\]

в) Произведение выражений:
\[2,6 \cdot 2,2 < \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} < 2,7 \cdot 2,3;\]

\[5,72 < \sqrt{35} < 6,21;\]

Пользуясь тем, что \( 2,6 < \sqrt{7} < 2,7 \) и \( 2,2 < \sqrt{5} < 2,3 \), оцените значение выражений:

а) \( \sqrt{7} + \sqrt{5} \);

Нам необходимо оценить сумму двух выражений \( \sqrt{7} + \sqrt{5} \). Для этого мы воспользуемся методом оценки значений через неравенства, с учетом того, что \( \sqrt{7} \) и \( \sqrt{5} \) находятся в пределах соответствующих интервалов:

Из условия задачи известно, что:

\[
2,6 < \sqrt{7} < 2,7
\]

\[
2,2 < \sqrt{5} < 2,3
\]

Теперь сложим эти два неравенства поэтапно. Для нижней границы суммы сложим левую часть обеих неравенств:

\[
2,6 + 2,2 = 4,8
\]

Для верхней границы сложим правую часть обеих неравенств:

\[
2,7 + 2,3 = 5
\]

Таким образом, имеем следующее неравенство:

\[
4,8 < \sqrt{7} + \sqrt{5} < 5
\]

Ответ: \( 4,8 < \sqrt{7} + \sqrt{5} < 5 \).

б) \( \sqrt{7} — \sqrt{5} \);

Теперь рассмотрим разность \( \sqrt{7} — \sqrt{5} \). Для этого также используем неравенства, но теперь будем вычитать левую часть неравенства для \( \sqrt{5} \) из левой части неравенства для \( \sqrt{7} \), и правую часть для \( \sqrt{5} \) из правой части для \( \sqrt{7} \):

Для нижней границы разности вычитаем из \( 2,6 \) значение \( 2,3 \):

\[
2,6 — 2,3 = 0,3
\]

Для верхней границы вычитаем из \( 2,7 \) значение \( 2,2 \):

\[
2,7 — 2,2 = 0,5
\]

Таким образом, получаем следующее неравенство:

\[
0,3 < \sqrt{7} — \sqrt{5} < 0,5
\]

Ответ: \( 0,3 < \sqrt{7} — \sqrt{5} < 0,5 \).

в) \( \sqrt{35} \);

Для оценки произведения выражений \( \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{35} \) нам необходимо перемножить соответствующие интервалы для \( \sqrt{7} \) и \( \sqrt{5} \). Для этого перемножим их нижние и верхние границы поочередно:

Для нижней границы произведения умножим минимальные значения из каждого интервала:

\[
2,6 \cdot 2,2 = 5,72
\]

Для верхней границы произведения умножим максимальные значения из каждого интервала:

\[
2,7 \cdot 2,3 = 6,21
\]

Таким образом, получаем следующее неравенство для \( \sqrt{35} \):

\[
5,72 < \sqrt{35} < 6,21
\]

Ответ: \( 5,72 < \sqrt{35} < 6,21 \).