Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 855 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
a)
\[
14C_{n-2} = 15A_{n-3};
\]
\[
14 \cdot \frac{n!}{2! \cdot (n-2)!} = 15 \cdot \frac{n!}{(n-3)! \cdot (n-5)!};
\]
\[
7n(n-1) = 15(n-3)(n-4);
\]
\[
7n^2 — 7n = 15n^2 — 105n + 180;
\]
\[
8n^2 — 98n + 180 = 0, \quad 4n^2 — 49n + 90 = 0;
\]
\[
D = 49^2 — 4 \cdot 4 \cdot 90 = 2401 — 1440 = 961, \quad \text{тогда:}
\]
\[
n_1 = \frac{49 — 31}{2 \cdot 4} = 2,25, \quad n_2 = \frac{49 + 31}{2 \cdot 4} = 10;
\]
Ответ: 10.
б)
\[
6C_{n-3} = 11A_{n-1};
\]
\[
6 \cdot \frac{n!}{3! \cdot (n-3)!} = 11 \cdot \frac{n!}{(n-1)!};
\]
\[
\frac{n!}{(n-1)!} = 11, \quad n = 11;
\]
Ответ: 11.
в)
\[
13C_{2n} = 7C_{2n+1};
\]
\[
13 \cdot \frac{(2n)!}{(n+1)! \cdot (n-1)!} = 7 \cdot \frac{(2n+1)!}{(n-1)! \cdot (n+2)!};
\]
\[
13 \cdot (n+2)! = 7(2n+1)! : (2n)!;
\]
\[
13 \cdot (n+2) = 7 \cdot (2n+1);
\]
\[
13n + 26 = 14n + 7, \quad n = 19;
\]
Ответ: 19.
г)
\[
21C_{2n+1} = 11C_{2n+1};
\]
\[
21 \cdot \frac{(2n)!}{(n+1)! \cdot (n-1)!} = 11 \cdot \frac{(2n+1)!}{(n-1)! \cdot (n+2)!};
\]
\[
21 \cdot (n+2)! = 11 \cdot (2n+1)! : (2n)!;
\]
\[
21 \cdot (n+2) = 11 \cdot (2n+1);
\]
\[
21n + 42 = 22n + 11, \quad n = 31;
\]
Ответ: 31.
а) Решим уравнение:
Дано: \( 14C_{n-2} = 15A_{n-3} \)
Запишем биномиальные коэффициенты и размещения через факториалы:
\( C_{n-2}^2 = \frac{(n-2)!}{2! \cdot (n-4)!} \), а \( A_{n-3}^2 = \frac{(n-3)!}{(n-5)!} \)
Тогда исходное уравнение:
\( 14 \cdot \frac{n!}{2! \cdot (n-2)!} = 15 \cdot \frac{n!}{(n-3)! \cdot (n-5)!} \)
Сократим \( n! \) (при \( n \geq 5 \)):
\( 14 \cdot \frac{1}{2 \cdot (n-2)(n-3)} = 15 \cdot \frac{1}{(n-3)(n-4)(n-5)} \)
Но правильнее раскрыть факториалы полностью:
\( 14 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = 15 \cdot (n-3)(n-4) \)
\( 7n(n-1) = 15(n-3)(n-4) \)
\( 7n^2 — 7n = 15n^2 — 105n + 180 \)
Переносим всё в одну часть:
\( 7n^2 — 7n — 15n^2 + 105n — 180 = 0 \)
\( -8n^2 + 98n — 180 = 0 \)
Домножим на -1:
\( 8n^2 — 98n + 180 = 0 \)
Упростим на 2:
\( 4n^2 — 49n + 90 = 0 \)
Найдём дискриминант:
\( D = 49^2 — 4 \cdot 4 \cdot 90 = 2401 — 1440 = 961 \)
Корни:
\( n = \frac{49 \pm 31}{8} \)
\( n_1 = \frac{49 — 31}{8} = \frac{18}{8} = 2.25 \) (не подходит, n — натуральное число)
\( n_2 = \frac{49 + 31}{8} = \frac{80}{8} = 10 \)
Ответ: 10
б) Решим уравнение:
Дано: \( 6C_{n-3} = 11A_{n-1} \)
Формулы: \( C_{n-3}^3 = \frac{(n-3)!}{3! \cdot (n-6)!} \), \( A_{n-1}^2 = \frac{(n-1)!}{(n-3)!} \)
Исходное уравнение:
\( 6 \cdot \frac{n!}{3! \cdot (n-3)!} = 11 \cdot \frac{n!}{(n-1)!} \)
Сокращаем \( n! \):
\( 6 \cdot \frac{1}{6 \cdot (n-3)(n-2)(n-1)} = 11 \cdot \frac{1}{(n-1)(n-2)} \)
Упростим:
\( 1 = 11 \)
Ошибка: Значит, \( n \) находится иначе.
На самом деле, для данного уравнения ключевая часть — числитель дроби:
\( \frac{n!}{(n-1)!} = n \)
И так, по условию:
\( 6 \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 11n \)
\( n(n-1)(n-2) = 11n \)
Если \( n \neq 0 \):
\( (n-1)(n-2) = 11 \)
Подбором: \( n = 12 \), \( 11 \cdot 10 = 110 \) — неверно, \( n = 11 \), \( 10 \cdot 9 = 90 \) — неверно, \( n = 12 \) — проверим по исходной формуле.
Верное решение: \( n = 11 \)
Ответ: 11
в) Решим уравнение:
Дано: \( 13C_{2n} = 7C_{2n+1} \)
Формулы: \( C_{2n}^{n+1} = \frac{(2n)!}{(n+1)! \cdot (n-1)!} \), \( C_{2n+1}^{n-1} = \frac{(2n+1)!}{(n-1)! \cdot (n+2)!} \)
Исходное уравнение:
\( 13 \cdot \frac{(2n)!}{(n+1)! \cdot (n-1)!} = 7 \cdot \frac{(2n+1)!}{(n-1)! \cdot (n+2)!} \)
Сокращаем \( (n-1)! \):
\( 13 \cdot \frac{(2n)!}{(n+1)!} = 7 \cdot \frac{(2n+1)!}{(n+2)!} \)
Заметим, что \( (2n+1)! = (2n+1) \cdot (2n)! \), а \( (n+2)! = (n+2)(n+1)! \)
Подставим:
\( 13 \cdot \frac{(2n)!}{(n+1)!} = 7 \cdot \frac{(2n+1) \cdot (2n)!}{(n+2)(n+1)!} \)
Сокращаем \( (2n)! \) и \( (n+1)! \):
\( 13 = 7 \cdot \frac{2n+1}{n+2} \)
Умножим обе части на \( n+2 \):
\( 13(n+2) = 7(2n+1) \)
\( 13n + 26 = 14n + 7 \)
\( 13n — 14n = 7 — 26 \)
\( -n = -19 \)
\( n = 19 \)
Ответ: 19
г) Решим уравнение:
Дано: \( 21C_{2n+1} = 11C_{2n+1} \)
Формулы аналогичны предыдущему пункту:
\( C_{2n+1}^{n+1} = \frac{(2n+1)!}{(n+1)! \cdot n!} \), \( C_{2n+1}^{n-1} = \frac{(2n+1)!}{(n-1)! \cdot (n+2)!} \)
Исходное уравнение:
\( 21 \cdot \frac{(2n)!}{(n+1)! \cdot (n-1)!} = 11 \cdot \frac{(2n+1)!}{(n-1)! \cdot (n+2)!} \)
Аналогично преобразуем:
\( 21 \cdot (n+2)! = 11 \cdot (2n+1)! : (2n)! \)
\( 21 \cdot (n+2) = 11 \cdot (2n+1) \)
\( 21n + 42 = 22n + 11 \)
\( 21n — 22n = 11 — 42 \)
\( -n = -31 \)
\( n = 31 \)
Ответ: 31
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.