Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 855 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Решить уравнение:
а) \( 14C_{n}^{n-2} = 15A_{n-3}^2; \)
\( 14 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!} = 15 \cdot \frac{(n-3)!}{(n-5)!}; \)
\( 7n(n-1) = 15(n-3)(n-4); \)
\( 8n^2 — 98n + 180 = 0, \quad 4n^2 — 49n + 90 = 0; \)
\( D = 49^2 — 4 \cdot 4 \cdot 90 = 2401 — 1440 = 961, \text{ тогда:} \)
\( n_1 = \frac{49 — 31}{2 \cdot 4} = 2.25 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{49 + 31}{2 \cdot 4} = \frac{80}{8} = 10; \)
Ответ: 10.
б) \( 6C_{n}^{n+3} = 11A_{n-1}^2; \)
\( \frac{6 \cdot n!}{3!(n-1)!} = 11 \cdot \frac{(n-1)!}{(n-3)!}; \)
\( \frac{n!}{(n-1)!} = 11 \cdot (n-1), \quad n = 11; \)
Ответ: 11.
в) \( 21C_{n}^{n+1} = 11C_{2n+1}^1; \)
\( \frac{13 \cdot (2n)!}{(n+1)!(n-1)!} = 7 \cdot \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}; \)
\( 13 \cdot (n+2)! = 7 \cdot (2n+1)!; \)
\( 13n + 26 = 14n + 7, \quad n = 19; \)
Ответ: 19.
г) \( 21C_{n}^{n+1} = 11C_{2n+1}^1; \)
\( \frac{21 \cdot (2n)!}{(n+1)!(n-1)!} = 11 \cdot \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}; \)
\( 21 \cdot (n+2)! = 11 \cdot (2n+1)!; \)
\( 21n + 42 = 22n + 11, \quad n = 31; \)
Ответ: 31.
Задача: Решите уравнения для различных выражений, содержащих сочетания и размещения:
а) \( 14C_{n}^{n-2} = 15A_{n-3}^2 \)
Дано уравнение с сочетаниями и размещениями. Для того чтобы решить его, будем использовать формулы для сочетаний и размещений:
- \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — формула для сочетаний;
- \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \) — формула для размещений.
Подставляем в уравнение значения:
\( 14 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!} = 15 \cdot \frac{(n-3)!}{(n-5)!} \)
Упрощаем выражения, используя факториалы:
\( 14 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = 15 \cdot (n-3)(n-4) \)
Раскрываем скобки и получаем уравнение:
\( 7n(n-1) = 15(n-3)(n-4) \)
Раскроем скобки и упростим:
\( 7n^2 — 7n = 15n^2 — 105n + 180 \)
Переносим все слагаемые в одну сторону:
\( 8n^2 — 98n + 180 = 0 \)
Делим всё на 2:
\( 4n^2 — 49n + 90 = 0 \)
Вычисляем дискриминант \( D \):
\( D = (-49)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 90 = 2401 — 1440 = 961 \)
Теперь находим корни с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\( n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
Подставляем значения:
\( n_1 = \frac{49 — 31}{2 \cdot 4} = 2.25 \) (это нецелое значение, не подходит) и
\( n_2 = \frac{49 + 31}{2 \cdot 4} = \frac{80}{8} = 10 \)
Ответ: 10
б) \( 6C_{n}^{n+3} = 11A_{n-1}^2 \)
Подставим формулы для сочетаний и размещений:
\( \frac{6 \cdot n!}{3!(n-1)!} = 11 \cdot \frac{(n-1)!}{(n-3)!} \)
Упростим выражение:
\( \frac{n!}{(n-1)!} = 11 \cdot (n-1) \)
Так как \( \frac{n!}{(n-1)!} = n \), получаем уравнение:
\( n = 11 \)
Ответ: 11
в) \( 21C_{n}^{n+1} = 11C_{2n+1}^1 \)
Применяем формулы для сочетаний:
\( \frac{13 \cdot (2n)!}{(n+1)!(n-1)!} = 7 \cdot \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!} \)
Упрощаем и получаем следующее уравнение:
\( 13 \cdot (n+2)! = 7 \cdot (2n+1)! \)
Дальше решаем уравнение:
\( 13n + 26 = 14n + 7 \)
\( n = 19 \)
Ответ: 19
г) \( 21C_{n}^{n+1} = 11C_{2n+1}^1 \)
Используем аналогичные формулы для сочетаний:
\( \frac{21 \cdot (2n)!}{(n+1)!(n-1)!} = 11 \cdot \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!} \)
Упрощаем выражения:
\( 21 \cdot (n+2)! = 11 \cdot (2n+1)! \)
Решаем уравнение:
\( 21n + 42 = 22n + 11 \)
\( n = 31 \)
Ответ: 31
Итоговые ответы:
- а) \( 10 \)
- б) \( 11 \)
- в) \( 19 \)
- г) \( 31 \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.