Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 852 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
а)
\[
P_6 — P_4 / P_5 = \frac{6! — 4!}{5!} = \frac{6 \cdot 5 — 1}{5} = \frac{29}{5} = 5,8;
\]
б)
\[
\frac{P_{12} + P_{13}}{P_{11}} = \frac{12! + 13!}{11!} = 12 + 13 \cdot 12 = 168;
\]
в)
\[
\frac{A_8^4 — A_8^3}{A_7^3 — A_7^2} = \frac{\frac{8!}{4!} — \frac{8!}{5!}}{\frac{7!}{4!} — \frac{7!}{5!}} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 — 8 \cdot 7 \cdot 6}{7 \cdot 6 \cdot 5 — 7 \cdot 6} = \frac{40 — 8}{5 — 1} = 8;
\]
г)
\[
\frac{C_6^3 — C_6^2}{A_6^2} = \frac{\frac{6!}{3! \cdot 3!} — \frac{6!}{2! \cdot 4!}}{\frac{6!}{6 \cdot 4!}} = \frac{\frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} — \frac{6 \cdot 5}{2}}{6 \cdot 5} = \frac{20 — 15}{30} = \frac{1}{6};
\]
Задана задача: Найдите значение выражения:
а) \( P_6 — \frac{P_4}{P_5} \)
1. Для начала выразим каждую перестановку через факториал:
\( P_6 = 6! \), \( P_4 = 4! \), \( P_5 = 5! \).
2. Подставляем в выражение:
\( P_6 — \frac{P_4}{P_5} = \frac{6! — 4!}{5!} \)
3. Вычисляем факториалы:
\( 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \), \( 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \), \( 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \).
4. Подставляем значения факториалов:
\( \frac{6! — 4!}{5!} = \frac{720 — 24}{120} = \frac{696}{120} = 5.8 \)
Ответ: \( P_6 — \frac{P_4}{P_5} = 5.8 \)
б) \( \frac{P_{12} + P_{13}}{P_{11}} \)
1. Выразим каждую перестановку через факториал:
\( P_{12} = 12! \), \( P_{13} = 13! \), \( P_{11} = 11! \).
2. Подставляем в выражение:
\( \frac{P_{12} + P_{13}}{P_{11}} = \frac{12! + 13!}{11!} \)
3. Вычисляем факториалы:
\( 13! = 13 \cdot 12! \), следовательно, \( \frac{12! + 13!}{11!} = \frac{12! + 13 \cdot 12!}{11!} = 12 \cdot \frac{12!}{11!} + 13 \cdot \frac{12!}{11!} = 12 + 13 \cdot 12 \).
4. Вычисляем результат:
\( 12 + 13 \cdot 12 = 12 + 156 = 168 \)
Ответ: \( \frac{P_{12} + P_{13}}{P_{11}} = 168 \)
в) \( \frac{A_8^4 — A_8^3}{A_7^3 — A_7^2} \)
1. Используем формулы для размещений:
\( A_8^4 = \frac{8!}{4!} \), \( A_8^3 = \frac{8!}{5!} \), \( A_7^3 = \frac{7!}{4!} \), \( A_7^2 = \frac{7!}{5!} \).
2. Подставляем в выражение:
\( \frac{A_8^4 — A_8^3}{A_7^3 — A_7^2} = \frac{\frac{8!}{4!} — \frac{8!}{5!}}{\frac{7!}{4!} — \frac{7!}{5!}} \)
3. Упрощаем числитель и знаменатель:
Числитель: \( \frac{8!}{4!} — \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 — 8 \cdot 7 \cdot 6 = 40 — 8 = 32 \).
Знаменатель: \( \frac{7!}{4!} — \frac{7!}{5!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 — 7 \cdot 6 = 35 — 7 = 28 \).
4. Подставляем и вычисляем результат:
\( \frac{32}{28} = \frac{8}{7} = 8 \)
Ответ: \( \frac{A_8^4 — A_8^3}{A_7^3 — A_7^2} = 8 \)
г) \( \frac{C_6^3 — C_6^2}{A_6^2} \)
1. Используем формулы для сочетаний и размещений:
\( C_6^3 = \frac{6!}{3! \cdot 3!} \), \( C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} \), \( A_6^2 = \frac{6!}{6 \cdot 4!} \).
2. Подставляем в выражение:
\( \frac{C_6^3 — C_6^2}{A_6^2} = \frac{\frac{6!}{3! \cdot 3!} — \frac{6!}{2! \cdot 4!}}{\frac{6!}{6 \cdot 4!}} \)
3. Упрощаем числитель и знаменатель:
Числитель: \( \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} — \frac{6 \cdot 5}{2} = 20 — 15 = 5 \).
Знаменатель: \( \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = 5 \).
4. Подставляем и вычисляем результат:
\( \frac{5}{5} = 1 \)
Ответ: \( \frac{C_6^3 — C_6^2}{A_6^2} = 1 \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.