ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 839 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Сократить дробь:
а) \[
\frac{(n + 1)!}{n!} = \frac{(n + 1)n!}{n!} = n + 1;
\]
б) \[
\frac{n!}{(n + 2)!} = \frac{n!}{(n + 2)(n + 1)n!} = \frac{1}{n^2 + 3n + 2};
\]
в) \[
\frac{(n + 3)!}{(n + 1)!} = \frac{(n + 3)(n + 2)(n + 1)!}{(n + 1)!} = n^2 + 5n + 6;
\]
г) \[
\frac{(n + 1)!(n + 3)}{(n + 4)!} = \frac{(n + 3)}{(n + 4)(n + 3)(n + 2)} = \frac{1}{n^2 + 6n + 8};
\]
д) \[
\frac{(n + 11)!}{(n + 10)!} \cdot n = \frac{(n + 11)(n + 10)! \cdot n}{(n + 10)!} = n^2 + 11n;
\]
Задача: Нужно сократить следующие дроби, содержащие факториалы:
Решение:
а) \( \frac{(n + 1)!}{n!} \):
1) Начнём с того, что факториал \( (n + 1)! \) можно разложить как произведение:
\[
(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!
\]
Здесь \( n! \) — это произведение всех чисел от 1 до \( n \), и при делении на \( n! \) в числителе и знаменателе они сокращаются.
2) Подставляем это в исходное выражение:
\[
\frac{(n + 1)!}{n!} = \frac{(n + 1) \cdot n!}{n!}
\]
Так как \( n! \) в числителе и знаменателе сокращается, остаётся:
\[
n + 1
\]
Ответ: \( n + 1 \)
б) \( \frac{n!}{(n + 2)!} \):
1) Разложим \( (n + 2)! \) на множители:
\[
(n + 2)! = (n + 2) \cdot (n + 1) \cdot n!
\]
Это разложение показывает, что \( (n + 2)! \) включает в себя множитель \( n! \).
2) Подставим это разложение в исходное выражение:
\[
\frac{n!}{(n + 2)!} = \frac{n!}{(n + 2) \cdot (n + 1) \cdot n!}
\]
Здесь \( n! \) в числителе и знаменателе сокращается, и остаётся:
\[
\frac{1}{(n + 2)(n + 1)}
\]
Ответ: \( \frac{1}{(n + 2)(n + 1)} \)
в) \( \frac{(n + 3)!}{(n + 1)!} \):
1) Разложим \( (n + 3)! \) на множители:
\[
(n + 3)! = (n + 3) \cdot (n + 2) \cdot (n + 1)!
\]
Это разложение показывает, что \( (n + 3)! \) включает в себя \( (n + 1)! \).
2) Подставим это в исходное выражение:
\[
\frac{(n + 3)!}{(n + 1)!} = \frac{(n + 3) \cdot (n + 2) \cdot (n + 1)!}{(n + 1)!}
\]
Сокращаем \( (n + 1)! \) в числителе и знаменателе, и остаётся:
\[
(n + 3)(n + 2)
\]
Теперь раскроем скобки:
\[
(n + 3)(n + 2) = n^2 + 5n + 6
\]
Ответ: \( n^2 + 5n + 6 \)
г) \( \frac{(n + 1)!(n + 3)}{(n + 4)!} \):
1) Разложим \( (n + 4)! \) на множители:
\[
(n + 4)! = (n + 4) \cdot (n + 3) \cdot (n + 2) \cdot (n + 1)!
\]
2) Подставим это разложение в исходное выражение:
\[
\frac{(n + 1)!(n + 3)}{(n + 4)!} = \frac{(n + 3) \cdot (n + 1)!}{(n + 4) \cdot (n + 3) \cdot (n + 2) \cdot (n + 1)!}
\]
Сокращаем \( (n + 3) \) и \( (n + 1)! \) в числителе и знаменателе, и остаётся:
\[
\frac{1}{(n + 4)(n + 2)}
\]
Теперь раскроем скобки:
\[
= \frac{1}{n^2 + 6n + 8}
\]
Ответ: \( \frac{1}{n^2 + 6n + 8} \)
д) \( \frac{(n + 11)!}{(n + 10)!} \cdot n \):
1) Разложим \( (n + 11)! \) на множители:
\[
(n + 11)! = (n + 11) \cdot (n + 10)!
\]
2) Подставим это разложение в исходное выражение:
\[
\frac{(n + 11)!}{(n + 10)!} \cdot n = \frac{(n + 11) \cdot (n + 10)! \cdot n}{(n + 10)!}
\]
Сокращаем \( (n + 10)! \) в числителе и знаменателе, и остаётся:
\[
(n + 11) \cdot n
\]
Теперь раскроем скобки:
\[
= n^2 + 11n
\]
Ответ: \( n^2 + 11n \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.