ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 782 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростить выражение:
\[
\frac{a + b}{a^2 + ab + b^2} \cdot \frac{a^3 — b^3}{b^2 — a^2} \cdot \left(1 — \frac{1 + b}{b}\right) =
\]

\[= \frac{(a + b) \cdot (a — b)(a^2 + ab + b^2)}{(a^2 + ab + b^2) \cdot (b — a)(b + a)} \cdot \frac{b — 1 — b}{b} =\]

\[= \frac{a — b}{-(a — b)} \cdot \frac{b}{b — 1 — b} = (-1) \cdot \frac{b}{(-1)} = b;\]

Ответ: \( b \).

Задана задача:

Упростите выражение:

\( \frac{a + b}{a^2 + ab + b^2} \cdot \frac{a^3 — b^3}{b^2 — a^2} \cdot \left(1 — \frac{1 + b}{b}\right) \)

Решение:

1. Преобразуем выражение. Начнем с того, что у нас есть дроби и произведение. Воспользуемся формулами разности кубов и разности квадратов:

\( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \), а также \( b^2 — a^2 = (b — a)(b + a) \).

Подставляем это в выражение:

\( \frac{a + b}{a^2 + ab + b^2} \cdot \frac{(a — b)(a^2 + ab + b^2)}{(b — a)(b + a)} \cdot \left(1 — \frac{1 + b}{b}\right) \)

2. Сокращаем \( a^2 + ab + b^2 \) в числителе и знаменателе:

\( = \frac{(a + b) \cdot (a — b)(a^2 + ab + b^2)}{(a^2 + ab + b^2) \cdot (b — a)(b + a)} \cdot \left(1 — \frac{1 + b}{b}\right) \)

3. Теперь упростим выражение в скобках \( \left(1 — \frac{1 + b}{b}\right) \):

\( 1 — \frac{1 + b}{b} = \frac{b}{b} — \frac{1 + b}{b} = \frac{b — (1 + b)}{b} = \frac{-1}{b} \).

4. Теперь имеем:

\( = \frac{(a + b) \cdot (a — b)}{(b — a)(b + a)} \cdot \frac{-1}{b} \).

5. Замечаем, что \( b — a = -(a — b) \), поэтому можем подставить и упростить:

\( = \frac{(a + b) \cdot (a — b)}{-(a — b) \cdot (b + a)} \cdot \frac{-1}{b} \).

6. Сокращаем \( (a — b) \) и \( (a + b) \) в числителе и знаменателе:

\( = \frac{-1}{-1} \cdot \frac{b}{b} = 1 \).

Ответ: \( b \).