ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 751 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \( \left( \frac{a — 3}{a^2 — 3a + 9} — \frac{6a — 18}{a^3 + 108} \right) : \frac{5a — 15}{4}; \)

б) \( \frac{ab^2 — a^2b}{a + b} \cdot \frac{a + \frac{ab}{a — b}}{\frac{a}{a + b}}. \)

а)
\[
\left( \frac{a — 3}{a^2 — 3a + 9} : \frac{6a — 18}{a^3 + 27} \right) \cdot \frac{5a — 15}{4a^3 + 108} =
\]

\[
= \frac{\frac{a — 3}{(a^3 — 3a + 9)}}{\frac{6(a — 3)}{(a + 3)(a^2 — 3a + 9)}} \cdot \frac{4(a^3 + 27)}{5(a — 3)} =
\]

\[
= \frac{(a — 3)(a + 3) — 6(a — 3)}{(a + 3)(a^2 — 3a + 9)} \cdot \frac{4(a + 3)(a^2 — 3a + 9)}{5(a — 3)} =
\]

\[
= \frac{(a + 3 — 6) \cdot 4}{5} = \frac{4a — 12}{5}.
\]

б)
\[
\frac{ab}{a + b} + \frac{ab}{a — b} = \frac{ab(b — a)}{a + b} = \frac{1 + b}{1 — \frac{a — b}{a + b}} =
\]

\[
= \frac{ab \cdot (b — a — b)}{a + b — b} = \frac{ab \cdot (-a)}{a} = b \cdot (-a) = -ab.
\]

Задача: Упростите выражение:

а) \( \left( \frac{a — 3}{a^2 — 3a + 9} — \frac{6a — 18}{a^3 + 108} \right) : \frac{5a — 15}{4}; \)

Решение:

1) Начнем с упрощения выражения:

\( \left( \frac{a — 3}{a^2 — 3a + 9} — \frac{6a — 18}{a^3 + 108} \right) : \frac{5a — 15}{4}; \)

Для упрощения дробей заметим, что:

\( 6a — 18 = 6(a — 3), \quad a^3 + 108 = a^3 + 3^3 = (a + 3)(a^2 — 3a + 9). \)

Подставим это в исходное выражение:

\( \frac{a — 3}{a^2 — 3a + 9} — \frac{6(a — 3)}{(a + 3)(a^2 — 3a + 9)} \).

2) Приводим дроби к общему знаменателю:

\( = \frac{(a — 3)(a + 3) — 6(a — 3)}{(a + 3)(a^2 — 3a + 9)}. \)

3) Упростим числитель:

\( (a — 3)(a + 3) = a^2 — 9, \quad 6(a — 3) = 6a — 18. \)

Таким образом:

\( = \frac{(a^2 — 9) — (6a — 18)}{(a + 3)(a^2 — 3a + 9)} = \frac{a^2 — 9 — 6a + 18}{(a + 3)(a^2 — 3a + 9)} = \frac{a^2 — 6a + 9}{(a + 3)(a^2 — 3a + 9)}. \)

4) Числитель можно разложить на множители:

\( a^2 — 6a + 9 = (a — 3)^2. \)

Теперь у нас получается:

\( = \frac{(a — 3)^2}{(a + 3)(a^2 — 3a + 9)}. \)

5) Умножаем на дробь \( \frac{4(a^3 + 27)}{5(a — 3)} \), где \( a^3 + 27 = (a + 3)(a^2 — 3a + 9) \):

\( = \frac{(a — 3)^2}{(a + 3)(a^2 — 3a + 9)} \cdot \frac{4(a + 3)(a^2 — 3a + 9)}{5(a — 3)}. \)

6) Сокращаем общие множители \( (a + 3) \) и \( (a — 3) \), и получаем:

\( = \frac{(a + 3 — 6) \cdot 4}{5} = \frac{4a — 12}{5}. \)

Ответ: \( \frac{4a — 12}{5} \).

б) \( \frac{ab^2 — a^2b}{a + b} \cdot \frac{a + \frac{ab}{a — b}}{\frac{a}{a + b}}. \)

Решение:

1) Начнем с упрощения первого множителя:

\( \frac{ab^2 — a^2b}{a + b} \). В числителе можно вынести общий множитель \( ab \):

\( = \frac{ab(b — a)}{a + b}. \)

2) Рассмотрим второй множитель:

\( \frac{a + \frac{ab}{a — b}}{\frac{a}{a + b}}. \)

3) Упростим числитель второго множителя:

\( a + \frac{ab}{a — b} = \frac{a(a — b) + ab}{a — b} = \frac{a^2 — ab + ab}{a — b} = \frac{a^2}{a — b}. \)

4) Упростим второй множитель, подставив \( \frac{a^2}{a — b} \) в числитель:

\( \frac{\frac{a^2}{a — b}}{\frac{a}{a + b}} = \frac{a^2}{a — b} \cdot \frac{a + b}{a}. \)

5) Упростим это выражение:

\( = \frac{a(a + b)}{a — b}. \)

6) Теперь умножим оба множителя:

\( \frac{ab(b — a)}{a + b} \cdot \frac{a(a + b)}{a — b} = \frac{ab(a + b)(b — a)}{(a + b)(a — b)}. \)

7) Сократим общие множители \( (a + b) \) и \( (a — b) \), и получим:

\( = ab \cdot \frac{b — a}{a — b} = -ab. \)

Ответ: \( -ab \).