Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 729 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \( \left( \frac{2ab}{a^2 — b^2} + \frac{a — b}{2a + 2b} \right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b — a}; \)
б) \( \frac{y}{x — y} — \frac{x^3 — xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left( \frac{x}{(x — y)^2} — \frac{y}{x^2 — y^2} \right). \)
a) \(\left(\frac{2ab}{a^2 — b^2} + \frac{a — b}{2a + 2b}\right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b — a} =\)
\[= \left(\frac{2ab}{(a — b)(a + b)} + \frac{a — b}{2(a + b)}\right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{a — b} =\]
\[= \frac{4ab + a^2 — 2ab + b^2}{2(a — b)(a + b)} \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{a — b} =\]
\[= \frac{2a \cdot (a^2 + 2ab + b^2)}{2(a — b)(a + b)^2} — \frac{b}{a — b} =\]
\[= \frac{a}{a — b} — \frac{b}{a — b} = \frac{a — b}{a — b} = 1;\]
Ответ: \(1\).
б) \(\frac{y}{x — y} — \frac{x^3 — xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left(\frac{x}{(x — y)^2} — \frac{y}{x^2 — y^2}\right) =\)
\[= \frac{y}{x — y} — \frac{x(x^2 — y^2)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x(x^2 — y^2) — y(x^2 — 2xy + y^2)}{(x — y)^2 \cdot (x^2 — y^2)} =\]
\[= \frac{y}{x — y} — \frac{x \cdot (x^3 — xy^2 — yx^2 + 2xy^2 — y^3)}{(x^2 + y^2) \cdot (x — y)^2} =\]
\[= \frac{y}{x — y} — \frac{x \cdot (x^3 + xy^2 — y^3 — yx^2)}{(x^2 + y^2) \cdot (x — y)^2} =\]
\[= \frac{y}{x — y} — \frac{x(x^2 + y^2) \cdot (x — y)}{(x^2 + y^2) \cdot (x — y)^2} =\]
\[= \frac{y}{x — y} — \frac{x}{x — y} = \frac{y — x}{x — y} = -1;\]
Ответ: \(-1\).
Задача: Упростите выражение:
а) \( \left( \frac{2ab}{a^2 — b^2} + \frac{a — b}{2a + 2b} \right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b — a}; \)
Решение:
Первоначальное выражение:
\( \left( \frac{2ab}{a^2 — b^2} + \frac{a — b}{2a + 2b} \right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b — a} \)
1) Разбиваем на отдельные части:
\( \frac{2ab}{a^2 — b^2} = \frac{2ab}{(a — b)(a + b)} \), и
\( \frac{a — b}{2a + 2b} = \frac{a — b}{2(a + b)}. \)
2) Подставляем эти выражения в исходную формулу:
\( \left( \frac{2ab}{(a — b)(a + b)} + \frac{a — b}{2(a + b)} \right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{a — b}. \)
3) Приводим к общему знаменателю и упрощаем:
\( = \left( \frac{2ab + a — b}{2(a — b)(a + b)} \right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{a — b}. \)
4) Умножаем числитель на \( 2a \), а затем объединяем подобные члены:
\( = \frac{2a \cdot (a^2 + 2ab + b^2)}{2(a — b)(a + b)^2} — \frac{b}{a — b}. \)
5) Упрощаем выражение и получаем результат:
\( = \frac{a — b}{a — b} = 1. \)
Ответ: \( 1 \).
б) \( \frac{y}{x — y} — \frac{x^3 — xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left( \frac{x}{(x — y)^2} — \frac{y}{x^2 — y^2} \right); \)
Решение:
Первоначальное выражение:
\( \frac{y}{x — y} — \frac{x^3 — xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left( \frac{x}{(x — y)^2} — \frac{y}{x^2 — y^2} \right) \)
1) Начнём с упрощения выражений внутри скобок:
\( \frac{x}{(x — y)^2} — \frac{y}{x^2 — y^2} = \frac{x}{(x — y)^2} — \frac{y}{(x — y)(x + y)} \).
2) Для дальнейшего упрощения будем учитывать общий знаменатель и вычислим разность числителей:
\( = \frac{x(x + y) — y(x — y)}{(x — y)^2(x + y)} \)
3) Теперь подставим это выражение в исходное выражение:
\( = \frac{y}{x — y} — \frac{x(x^3 — xy^2 — yx^2 + 2xy^2 — y^3)}{(x^2 + y^2) \cdot (x — y)^2} \)
4) Упрощаем числители и получаем:
\( = \frac{y}{x — y} — \frac{x \cdot (x^2 + y^2) \cdot (x — y)}{(x^2 + y^2) \cdot (x — y)^2} \)
5) Убираем общий множитель \( (x — y) \) и получаем:
\( = \frac{y}{x — y} — \frac{x}{x — y} = \frac{y — x}{x — y} = -1. \)
Ответ: \( -1 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.