ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 712 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Геометрическая прогрессия состоит из пятнадцати членов. Сумма первых пяти членов равна 11/64,а сумма следующих пяти членов равна _5*1/2. Найдите сумму последних пяти членов этой прогрессии.

В данной прогрессии:

\( S_5 = \frac{11}{64}, \, S_{5-10} = -5\frac{1}{2}; \)

1) Первое равенство:

\( S_5 = \frac{b_1(q^5 — 1)}{q — 1} = \frac{11}{64}; \)

\( b_1 = \frac{11}{64} \cdot \frac{q — 1}{q^5 — 1}; \)

2) Второе равенство:

\( S_{5-10} = S_{10} — S_5 = -5\frac{1}{2}; \)

\( b_1 \frac{q^{10} — 1}{q — 1} — \frac{11}{64} = -\frac{11}{2}; \)

\( b_1 \frac{(q^5 — 1)(q^5 + 1)}{q — 1} = -\frac{341}{64}; \)

\( \frac{11}{64} \cdot (q^5 + 1) = -\frac{341}{64}; \)

\( q^5 + 1 = -31, \, q^5 = -32, \, q = -2; \)

\( b_1 = \frac{11}{64} \cdot \frac{-2 — 1}{-32 — 1} = \frac{11 \cdot 3}{64 \cdot 33} = \frac{1}{64}; \)

3) Сумма последних членов:

\( S = S_{15} — S_{5-10} — S_5 = \frac{b_1(1 — q^{15})}{1 — q} + 5\frac{1}{2} — \frac{11}{64}; \)

\( S = \frac{1 + 2^{15}}{64 \cdot (1 + 2)} + \frac{11}{2} — \frac{11}{64}; \)

\( S = \frac{32 \cdot 769}{64 \cdot 3} + \frac{341}{64} = \frac{10 \cdot 923}{64} + \frac{341}{64} = 176; \)

Ответ: 176.

Задача: Геометрическая прогрессия состоит из пятнадцати членов. Сумма первых пяти членов равна \( \frac{11}{64} \), а сумма следующих пяти членов равна \( -\frac{5}{2} \). Найдите сумму последних пяти членов этой прогрессии.

Решение:

1) Первое равенство:

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

\( S_5 = \frac{b_1(q^5 — 1)}{q — 1} = \frac{11}{64}. \)

Теперь выразим \( b_1 \):

\( b_1 = \frac{11}{64} \cdot \frac{q — 1}{q^5 — 1}. \)

Ответ: Мы выражаем \( b_1 \) через \( q \), но для дальнейших вычислений будем использовать его значение, которое мы найдем позже.

2) Второе равенство:

Сумма следующих пяти членов геометрической прогрессии равна разнице суммы первых десяти и первых пяти членов:

\( S_{5-10} = S_{10} — S_5 = -\frac{5}{2}. \)

Используем формулу для суммы первых десяти членов прогрессии:

\( S_{10} = \frac{b_1(q^{10} — 1)}{q — 1}. \)

Значит, для суммы пяти членов с 6-го по 10-й имеем:

\( S_{5-10} = \frac{b_1(q^{10} — 1)}{q — 1} — \frac{b_1(q^5 — 1)}{q — 1} = -\frac{5}{2}. \)

Теперь приведём это уравнение к общему виду:

\( \frac{b_1(q^5 — 1)(q^5 + 1)}{q — 1} = -\frac{341}{64}. \)

Используем значение \( S_5 = \frac{11}{64} \):

\( \frac{11}{64} \cdot (q^5 + 1) = -\frac{341}{64}. \)

Получаем:

\( q^5 + 1 = -31, \quad q^5 = -32, \quad q = -2. \)

Теперь найдём \( b_1 \):

\( b_1 = \frac{11 \cdot (-2)}{-32 — 1} = \frac{11 \cdot 3}{64 \cdot 33} = \frac{1}{64}. \)

Ответ: \( b_1 = \frac{1}{64}, \quad q = -2. \)

3) Сумма последних пяти членов прогрессии:

Сумма последних пяти членов прогрессии равна разнице между суммой всех 15 членов и суммой первых десяти:

\( S = S_{15} — S_{5-10} — S_5. \)

Используем формулу для суммы первых \( n \)-членов геометрической прогрессии:

\( S_{15} = \frac{b_1(1 — q^{15})}{1 — q}. \)

Подставляем значение \( b_1 = \frac{1}{64} \) и \( q = -2 \):

\( S_{15} = \frac{\frac{1}{64}(1 — (-2)^{15})}{1 — (-2)}. \)

Теперь вычислим сумму \( S \):

\( S = \left( \frac{1}{64} \cdot \frac{1 + 32768}{3} \right) + \frac{341}{64} = \frac{32,769}{64} + \frac{341}{64} = \frac{33,110}{64} = 176. \)

Ответ: Сумма последних пяти членов прогрессии: 176.