Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 710 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найти в прогрессии:
а) \( q = -\frac{1}{3}, \, n = 5, \, S_n = 20\frac{1}{3}; \)
\( S_5 = \frac{x_1(1 — q^5)}{1 — q}, \, \frac{x_1\left(1 + \frac{1}{3^5}\right)}{1 + \frac{1}{3}} = 20\frac{1}{3}; \)
\( \frac{3}{4} \cdot x_1 \left(1 + \frac{1}{243}\right) = \frac{61}{3}, \, \frac{244}{243}x_1 = \frac{244}{9}; \)
\( x_1 = \frac{243}{9} = 27, \, x_5 = x_1q^4 = \frac{27}{3^4} = \frac{1}{3}; \)
Ответ: \( x_1 = 27; \, x_n = \frac{1}{3}. \)
б) \( x_1 = 11, \, x_n = 88, \, S_n = 165; \)
\( x_n = x_1q^{n-1} = 88, \, 11q^{n-1} = 88; \)
\( q^{n-1} = 8, \, S_n = \frac{x_1(q^n — 1)}{q — 1} = 165; \)
\( \frac{11(q — 1)}{q — 1} = 165, \, 8q — 1 = 15q — 15; \)
\( 7q = 14, \, q = 2, \, n — 1 = 3, \, n = 4; \)
Ответ: \( q = 2; \, n = 4. \)
в) \( x_1 = \frac{1}{2}, \, q = -\frac{1}{2}, \, S_n = \frac{21}{64}; \)
\( S_n = \frac{x_1(1 — q^n)}{1 — q}, \, \frac{\frac{1}{2} \cdot \left(1 — \frac{1}{(-2)^n}\right)}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{21}{64}; \)
\( \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(1 — \frac{1}{(-2)^n}\right) = \frac{21}{64}, \, 1 — \frac{1}{(-2)^n} = \frac{63}{64}; \)
\( \frac{1}{(-2)^n} = \frac{1}{64}, \, (-2)^n = 64, \, 2^n = 2^6, \, n = 6; \)
\( x_6 = x_1q^5 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(-2)^5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{-32} = -\frac{1}{64}; \)
Ответ: \( n = 6; \, x_n = -\frac{1}{64}. \)
г) \( q = \sqrt{3}, \, x_n = 18\sqrt{3}, \, S_n = 26\sqrt{3} + 24; \)
\( x_n = x_1q^{n-1}, \, x_1(\sqrt{3})^{n-1} = 18\sqrt{3}, \, x_1 = \frac{18\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^n}; \)
\( S_n = \frac{x_1(q^n — 1)}{q — 1}, \, \frac{54\left((\sqrt{3})^n — 1\right)}{(\sqrt{3})^n \cdot (\sqrt{3} — 1)} = 26\sqrt{3} + 24; \)
\( 27\left((\sqrt{3})^n — 1\right) = (13\sqrt{3} + 12)\left(\sqrt{3}(\sqrt{3})^n — (\sqrt{3})^n\right); \)
\( 27 \cdot (\sqrt{3})^n — 27 = 27 \cdot (\sqrt{3})^n — \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^n; \)
\( (\sqrt{3})^{n+1} = (\sqrt{3})^6, \, n + 1 = 6, \, n = 5; \)
\( x_1 = \frac{54}{(\sqrt{3})^5} = \frac{54}{9\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}; \)
Ответ: \( x_1 = 2\sqrt{3}; \, n = 5. \)
Задача: Найдите обозначенные члены геометрической прогрессии \( (b_n) \):
а) \( q = -\frac{1}{3}, \, n = 5, \, S_n = 20\frac{1}{3}; \)
Решение:
Известны значения: \( b_1 = ?, q = -\frac{1}{3}, n = 5 \). Мы знаем, что сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии выражается формулой:
\( S_n = \frac{b_1(1 — q^n)}{1 — q}. \)
Подставим \( S_5 = 20\frac{1}{3} = \frac{61}{3} \):
\( \frac{b_1(1 — q^5)}{1 — q} = \frac{61}{3}. \)
Подставляем значение \( q = -\frac{1}{3} \) в уравнение:
\( \frac{b_1\left(1 — \left(-\frac{1}{3}\right)^5\right)}{1 — \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{61}{3}, \)
\( \frac{b_1 \left(1 + \frac{1}{243}\right)}{\frac{4}{3}} = \frac{61}{3}. \)
Умножаем обе части на 3:
\( \frac{3}{4} \cdot b_1 \left(1 + \frac{1}{243}\right) = \frac{61}{3}, \)
\( b_1 \cdot \frac{244}{243} = \frac{244}{9}. \)
Теперь находим \( b_1 \):
\( b_1 = \frac{243}{9} = 27. \)
Теперь находим \( b_5 \), используя формулу \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \):
\( b_5 = 27 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{27}{3^4} = \frac{1}{3}. \)
Ответ: \( b_1 = 27, \, b_5 = \frac{1}{3}. \)
б) \( b_1 = 11, \, b_n = 88, \, S_n = 165; \)
Решение:
Известны значения: \( b_1 = 11, b_n = 88, S_n = 165 \). Используем формулу для \( n \)-го члена прогрессии:
\( b_n = b_1 \cdot q^{n-1}. \)
Подставляем \( b_n = 88 \):
\( 88 = 11 \cdot q^{n-1}, \quad q^{n-1} = 8, \quad q = 2. \)
Теперь найдём \( n \) с помощью формулы для суммы геометрической прогрессии:
\( S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1}. \)
Подставляем \( S_n = 165 \), \( b_1 = 11 \), \( q = 2 \):
\( \frac{11 \cdot (2^n — 1)}{2 — 1} = 165, \)
\( 11 \cdot (2^n — 1) = 165, \quad 2^n — 1 = 15, \quad 2^n = 16, \quad n = 4. \)
Ответ: \( q = 2, \, n = 4. \)
в) \( b_1 = \frac{1}{2}, \, q = -\frac{1}{2}, \, S_n = \frac{21}{64}; \)
Решение:
Известны значения: \( b_1 = \frac{1}{2}, q = -\frac{1}{2}, S_n = \frac{21}{64} \). Используем формулу для суммы геометрической прогрессии:
\( S_n = \frac{b_1 \cdot (1 — q^n)}{1 — q}. \)
Подставляем значения:
\( \frac{\frac{1}{2} \cdot \left(1 — \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{21}{64}, \)
\( \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(1 — \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right) = \frac{21}{64}, \)
\( 1 — \left(-\frac{1}{2}\right)^n = \frac{63}{64}, \)
\( \left(-\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{64}, \quad \left(-\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{64}, \quad n = 6. \)
Теперь находим \( b_6 \):
\( b_6 = b_1 \cdot q^5 = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{-32} = -\frac{1}{64}. \)
Ответ: \( n = 6, \, b_6 = -\frac{1}{64}. \)
г) \( q = \sqrt{3}, \, b_n = 18\sqrt{3}, \, S_n = 26\sqrt{3} + 24; \)
Решение:
Известны значения: \( q = \sqrt{3}, b_n = 18\sqrt{3}, S_n = 26\sqrt{3} + 24 \). Используем формулы для \( b_n \) и \( S_n \):
\( b_n = b_1 \cdot q^{n-1}, \, S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1}. \)
Рассчитаем \( b_1 \):
\( b_1 = \frac{18\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^n}. \)
Теперь используем формулу для суммы \( S_n \):
\( S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1}, \quad \frac{54 \cdot \left((\sqrt{3})^n — 1\right)}{(\sqrt{3})^n \cdot (\sqrt{3} — 1)} = 26\sqrt{3} + 24. \)
Решая это уравнение, находим \( n = 5 \), и далее находим \( b_1 = 2\sqrt{3}. \)
Ответ: \( b_1 = 2\sqrt{3}, \, n = 5. \)
Задачи повышенные трудности
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.