Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 707 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
a) b₁ > 0, q > 1, bₙ₊₁ > bₙ;
d = bₙ₊₁ — bₙ = b₁qⁿ — b₁qⁿ⁻¹;
d = b₁ · qⁿ⁻¹ · (q — 1) > 0;
Если b₁ = 1 и q = 2, тогда:
d = bₙ₊₁ — bₙ = b₁qⁿ — b₁qⁿ⁻¹;
d = 2ⁿ — 0,5 · 2ⁿ = 0,5 · 2ⁿ > 0.
Что и требовалось доказать.
б) b₁ > 0, 0 < q < 1, bₙ₊₁ < bₙ;
d = bₙ₊₁ — bₙ = b₁qⁿ — b₁qⁿ⁻¹;
d = b₁ · qⁿ⁻¹ · (q — 1) < 0;
Если b₁ = 1 и q = 0,5, тогда:
d = bₙ₊₁ — bₙ = b₁qⁿ — b₁qⁿ⁻¹;
d = 0,5ⁿ — 2 · 0,5ⁿ = -0,5ⁿ < 0.
Что и требовалось доказать.
в) b₁ < 0, q > 1, bₙ₊₁ < bₙ;
d = bₙ₊₁ — bₙ = b₁qⁿ — b₁qⁿ⁻¹;
d = b₁ · qⁿ⁻¹ · (q — 1) < 0;
Если b₁ = -1 и q = 2, тогда:
d = bₙ₊₁ — bₙ = b₁qⁿ — b₁qⁿ⁻¹;
d = 0,5 · 2ⁿ — 2ⁿ = -0,5 · 2ⁿ < 0.
Что и требовалось доказать.
г) b₁ < 0, 0 < q < 1, bₙ₊₁ > bₙ;
d = bₙ₊₁ — bₙ = b₁qⁿ — b₁ · qⁿ⁻¹;
d = b₁ · qⁿ⁻¹ · (q — 1) > 0;
Если b₁ = -1 и q = 0,5, тогда:
d = bₙ₊₁ — bₙ = b₁qⁿ — b₁qⁿ⁻¹;
d = 2 · 0,5ⁿ — 0,5ⁿ = 0,5ⁿ > 0.
Что и требовалось доказать.
Задача: Последовательность \( (b_n) \) — геометрическая прогрессия. Докажите, что:
а) если \( b_1 > 0 \) и \( q > 1 \), то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего;
Решение:
В геометрической прогрессии каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на знаменатель прогрессии \( q \). То есть:
\( b_{n+1} = b_n \cdot q. \)
Предположим, что \( b_1 > 0 \) и \( q > 1 \). Нам нужно доказать, что для всех \( n \) выполняется \( b_{n+1} > b_n \).
Для этого рассмотрим разность между соседними членами прогрессии:
\( d = b_{n+1} — b_n = b_1 \cdot q^n — b_1 \cdot q^{n-1}. \)
Извлекаем общий множитель:
\( d = b_1 \cdot q^{n-1} \cdot (q — 1). \)
Так как \( b_1 > 0 \) и \( q > 1 \), то \( q — 1 > 0 \), следовательно, \( d > 0 \), то есть каждый следующий член прогрессии больше предыдущего.
Пример:
Если \( b_1 = 1 \) и \( q = 2 \), то:
\( d = b_{n+1} — b_n = 2^n — 0.5 \cdot 2^n = 0.5 \cdot 2^n > 0. \)
Ответ: да.
б) если \( b_1 > 0 \) и \( 0 < q < 1 \), то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;
Решение:
Для доказательства этого утверждения, рассмотрим разность между соседними членами прогрессии:
\( d = b_{n+1} — b_n = b_1 \cdot q^n — b_1 \cdot q^{n-1}. \)
Извлекаем общий множитель:
\( d = b_1 \cdot q^{n-1} \cdot (q — 1). \)
Так как \( b_1 > 0 \) и \( 0 < q < 1 \), то \( q — 1 < 0 \), следовательно, \( d < 0 \), то есть каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего.
Пример:
Если \( b_1 = 1 \) и \( q = 0.5 \), то:
\( d = b_{n+1} — b_n = 0.5^n — 2 \cdot 0.5^n = -0.5^n < 0. \)
Ответ: да.
в) если \( b_1 < 0 \) и \( q > 1 \), то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;
Решение:
Для доказательства этого утверждения, рассмотрим разность между соседними членами прогрессии:
\( d = b_{n+1} — b_n = b_1 \cdot q^n — b_1 \cdot q^{n-1}. \)
Извлекаем общий множитель:
\( d = b_1 \cdot q^{n-1} \cdot (q — 1). \)
Так как \( b_1 < 0 \) и \( q > 1 \), то \( q — 1 > 0 \), следовательно, \( d < 0 \), то есть каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего.
Пример:
Если \( b_1 = -1 \) и \( q = 2 \), то:
\( d = b_{n+1} — b_n = 0.5 \cdot 2^n — 2^n = -0.5 \cdot 2^n < 0. \)
Ответ: да.
г) если \( b_1 < 0 \) и \( 0 < q < 1 \), то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего;
Решение:
Для доказательства этого утверждения, рассмотрим разность между соседними членами прогрессии:
\( d = b_{n+1} — b_n = b_1 \cdot q^n — b_1 \cdot q^{n-1}. \)
Извлекаем общий множитель:
\( d = b_1 \cdot q^{n-1} \cdot (q — 1). \)
Так как \( b_1 < 0 \) и \( 0 < q < 1 \), то \( q — 1 < 0 \), следовательно, \( d > 0 \), то есть каждый следующий член прогрессии больше предыдущего.
Пример:
Если \( b_1 = -1 \) и \( q = 0.5 \), то:
\( d = b_{n+1} — b_n = 2 \cdot 0.5^n — 0.5^n = 0.5^n > 0. \)
Ответ: да.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.