ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 702 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Рассмотрим, является ли заданная последовательность геометрической прогрессией в каждом из предложенных случаев.

Исходная информация: дана последовательность \( (x_n) \), которая является геометрической прогрессией. Это означает, что существует постоянное число \( q \), такое что:

\( x_{n+1} = x_n \cdot q \)

Или, иначе говоря, отношение любого члена к предыдущему постоянно:

\( \frac{x_{n+1}}{x_n} = q \), где \( q \neq 0 \)

а) Последовательность: \( x_1 + 1; \, x_2 + 1; \, x_3 + 1; \, \ldots \)

Обозначим \( x_k = x_n + 1 \), а следующий член — \( x_{k+1} = x_{n+1} + 1 \)

Вычислим отношение соседних членов последовательности:

\( q_k = \frac{x_{k+1}}{x_k} = \frac{x_{n+1} + 1}{x_n + 1} \)

Это выражение не является постоянным, так как добавление единицы к каждому члену разрушает кратность между ними. То есть отношение между соседними членами меняется от шага к шагу.

Вывод: последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: нет.

б) Последовательность: \( 3x_1; \, 3x_2; \, 3x_3; \, \ldots \)

Каждый член получается умножением соответствующего члена исходной геометрической прогрессии на одно и то же число 3.

Обозначим \( x_k = 3x_n \), а следующий член — \( x_{k+1} = 3x_{n+1} \)

Найдём отношение соседних членов:

\( q_k = \frac{x_{k+1}}{x_k} = \frac{3x_{n+1}}{3x_n} = \frac{x_{n+1}}{x_n} = q \)

Таким образом, отношение остаётся постоянным.

Вывод: последовательность является геометрической прогрессией с тем же знаменателем \( q \).

Ответ: да.

в) Последовательность: \( x_1^2; \, x_2^2; \, x_3^2; \, \ldots \)

Каждый член новой последовательности — это квадрат соответствующего члена геометрической прогрессии.

Обозначим \( x_k = x_n^2 \), а следующий член — \( x_{k+1} = x_{n+1}^2 \)

Найдём отношение:

\( q_k = \frac{x_{k+1}}{x_k} = \frac{x_{n+1}^2}{x_n^2} \)

Так как \( x_{n+1} = x_n \cdot q \), то:

\( x_{n+1}^2 = (x_n \cdot q)^2 = x_n^2 \cdot q^2 \)

Подставим:

\( q_k = \frac{x_n^2 \cdot q^2}{x_n^2} = q^2 \)

Отношение между соседними членами — постоянное и равно \( q^2 \)

Вывод: последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да.

г) Последовательность: \( \frac{1}{x_1}; \, \frac{1}{x_2}; \, \frac{1}{x_3}; \, \ldots \)

Каждый член новой последовательности — это обратное значение к соответствующему члену исходной прогрессии.

Обозначим \( x_k = \frac{1}{x_n} \), \( x_{k+1} = \frac{1}{x_{n+1}} \)

Найдём отношение:

\( q_k = \frac{x_{k+1}}{x_k} = \frac{\frac{1}{x_{n+1}}}{\frac{1}{x_n}} = \frac{x_n}{x_{n+1}} \)

Поскольку \( \frac{x_{n+1}}{x_n} = q \), то \( \frac{x_n}{x_{n+1}} = \frac{1}{q} \)

Отношение между членами последовательности — постоянное и равно \( \frac{1}{q} \)

Вывод: последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да.