1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Учебник 📕 Макарычев, Миндюк — Все Части
Алгебра
9 класс учебник Макарычев
9 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.
Год
2019-2024.
Описание

Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.

Основные характеристики:

  • Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
  • Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.

Заключение:

Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 700 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача
Является ли последовательность (xn) арифметической прогрессией, если сумма первых n её членов может быть найдена по формуле:
а) Sn = -n2 + 3n;
б) Sn = 2n2 — 1;
в) Sn = n2 + 2n- 8;
г) Sn = 6n + 5?
Краткий ответ:

Является прогрессией:

а) \( S_n = -n^2 + 3n; \)

\( S_{n-1} = -(n-1)^2 + 3(n-1); \)

\( S_{n-1} = -n^2 + 2n — 1 + 3n — 3; \)

\( S_{n-1} = -n^2 + 5n — 4; \)

\( x_n = S_n — S_{n-1} = 4 — 2n; \)

\( x_{n+1} = 4 — 2n — 2 = 2 — 2n; \)

\( d = x_{n+1} — x_n = 2 — 4 = -2; \)

Ответ: да.

б) \( S_n = 2n^2 — 1; \)

\( S_1 = 2 \cdot 1^2 — 1 = 1, \, S_2 = 2 \cdot 2^2 — 1 = 7; \)

\( S_3 = 2 \cdot 3^2 — 1 = 17; \)

\( a_1 = S_1 = 1; \)

\( a_2 = S_2 — S_1 = 7 — 1 = 6; \)

\( a_3 = S_3 — S_2 = 17 — 7 = 10; \)

\( d_1 = a_2 — a_1 = 6 — 1 = 5; \)

\( d_2 = a_3 — a_2 = 10 — 6 = 4; \)

Ответ: нет.

в) \( S_n = n^2 + 2n — 8; \)

\( S_1 = 1^2 + 2 \cdot 1 — 8 = -5, \, S_2 = 2^2 + 2 \cdot 2 — 8 = 0; \)

\( S_3 = 3^2 + 2 \cdot 3 — 8 = 7; \)

\( a_1 = S_1 = -5; \)

\( a_2 = S_2 — S_1 = 0 — (-5) = 5; \)

\( a_3 = S_3 — S_2 = 7 — 0 = 7; \)

\( d_1 = a_2 — a_1 = 5 — (-5) = 10; \)

\( d_2 = a_3 — a_2 = 7 — 5 = 2; \)

Ответ: нет.

г) \( S_n = 6n + 5; \)

\( S_1 = 6 \cdot 1 + 5 = 11, \, S_2 = 6 \cdot 2 + 5 = 17; \)

\( S_3 = 6 \cdot 3 + 5 = 23; \)

\( a_1 = S_1 = 11; \)

\( a_2 = S_2 — S_1 = 17 — 11 = 6; \)

\( a_3 = S_3 — S_2 = 23 — 17 = 6; \)

Ответ: нет.

Подробный ответ:

Задача: Является ли последовательность \( (x_n) \) арифметической прогрессией, если сумма первых \( n \) её членов может быть найдена по формуле:

а) \( S_n = -n^2 + 3n; \)

Решение:

Для начала вычислим \( S_{n-1} \), используя формулу для \( S_n \):

\( S_{n-1} = -(n-1)^2 + 3(n-1); \)

Раскроем и упростим это выражение:

\( S_{n-1} = -(n^2 — 2n + 1) + 3n — 3 = -n^2 + 2n — 1 + 3n — 3 = -n^2 + 5n — 4; \)

Теперь вычислим \( x_n \) как разницу между суммами \( S_n \) и \( S_{n-1} \):

\( x_n = S_n — S_{n-1} = (-n^2 + 3n) — (-n^2 + 5n — 4); \)

\( x_n = -n^2 + 3n + n^2 — 5n + 4 = 4 — 2n; \)

Теперь вычислим \( x_{n+1} \):

\( x_{n+1} = 4 — 2(n + 1) = 4 — 2n — 2 = 2 — 2n; \)

Найдем разность между соседними членами прогрессии:

\( d = x_{n+1} — x_n = (2 — 2n) — (4 — 2n) = 2 — 4 = -2; \)

Так как разность между соседними членами постоянна, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да.

б) \( S_n = 2n^2 — 1; \)

Решение:

Вычислим несколько значений суммы:

\( S_1 = 2 \cdot 1^2 — 1 = 1, \, S_2 = 2 \cdot 2^2 — 1 = 7, \, S_3 = 2 \cdot 3^2 — 1 = 17; \)

Теперь найдем члены прогрессии:

Первый член: \( a_1 = S_1 = 1 \);

Второй член: \( a_2 = S_2 — S_1 = 7 — 1 = 6 \);

Третий член: \( a_3 = S_3 — S_2 = 17 — 7 = 10 \);

Теперь вычислим разности между соседними членами:

\( d_1 = a_2 — a_1 = 6 — 1 = 5, \, d_2 = a_3 — a_2 = 10 — 6 = 4; \)

Так как разности между соседними членами разные, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: нет.

в) \( S_n = n^2 + 2n — 8; \)

Решение:

Вычислим несколько значений суммы:

\( S_1 = 1^2 + 2 \cdot 1 — 8 = -5, \, S_2 = 2^2 + 2 \cdot 2 — 8 = 0, \, S_3 = 3^2 + 2 \cdot 3 — 8 = 7; \)

Теперь найдем члены прогрессии:

Первый член: \( a_1 = S_1 = -5 \);

Второй член: \( a_2 = S_2 — S_1 = 0 — (-5) = 5 \);

Третий член: \( a_3 = S_3 — S_2 = 7 — 0 = 7 \);

Теперь вычислим разности между соседними членами:

\( d_1 = a_2 — a_1 = 5 — (-5) = 10, \, d_2 = a_3 — a_2 = 7 — 5 = 2; \)

Так как разности между соседними членами разные, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: нет.

г) \( S_n = 6n + 5; \)

Решение:

Вычислим несколько значений суммы:

\( S_1 = 6 \cdot 1 + 5 = 11, \, S_2 = 6 \cdot 2 + 5 = 17, \, S_3 = 6 \cdot 3 + 5 = 23; \)

Теперь найдем члены прогрессии:

Первый член: \( a_1 = S_1 = 11 \);

Второй член: \( a_2 = S_2 — S_1 = 17 — 11 = 6 \);

Третий член: \( a_3 = S_3 — S_2 = 23 — 17 = 6 \);

Теперь вычислим разности между соседними членами:

\( d_1 = a_2 — a_1 = 6 — 11 = -5, \, d_2 = a_3 — a_2 = 6 — 6 = 0; \)

Так как разности между соседними членами разные, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: нет.



Общая оценка
4.6 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы
Как выбрать ГДЗ по математике

Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.