Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 700 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Является прогрессией:
а) \( S_n = -n^2 + 3n; \)
\( S_{n-1} = -(n-1)^2 + 3(n-1); \)
\( S_{n-1} = -n^2 + 2n — 1 + 3n — 3; \)
\( S_{n-1} = -n^2 + 5n — 4; \)
\( x_n = S_n — S_{n-1} = 4 — 2n; \)
\( x_{n+1} = 4 — 2n — 2 = 2 — 2n; \)
\( d = x_{n+1} — x_n = 2 — 4 = -2; \)
Ответ: да.
б) \( S_n = 2n^2 — 1; \)
\( S_1 = 2 \cdot 1^2 — 1 = 1, \, S_2 = 2 \cdot 2^2 — 1 = 7; \)
\( S_3 = 2 \cdot 3^2 — 1 = 17; \)
\( a_1 = S_1 = 1; \)
\( a_2 = S_2 — S_1 = 7 — 1 = 6; \)
\( a_3 = S_3 — S_2 = 17 — 7 = 10; \)
\( d_1 = a_2 — a_1 = 6 — 1 = 5; \)
\( d_2 = a_3 — a_2 = 10 — 6 = 4; \)
Ответ: нет.
в) \( S_n = n^2 + 2n — 8; \)
\( S_1 = 1^2 + 2 \cdot 1 — 8 = -5, \, S_2 = 2^2 + 2 \cdot 2 — 8 = 0; \)
\( S_3 = 3^2 + 2 \cdot 3 — 8 = 7; \)
\( a_1 = S_1 = -5; \)
\( a_2 = S_2 — S_1 = 0 — (-5) = 5; \)
\( a_3 = S_3 — S_2 = 7 — 0 = 7; \)
\( d_1 = a_2 — a_1 = 5 — (-5) = 10; \)
\( d_2 = a_3 — a_2 = 7 — 5 = 2; \)
Ответ: нет.
г) \( S_n = 6n + 5; \)
\( S_1 = 6 \cdot 1 + 5 = 11, \, S_2 = 6 \cdot 2 + 5 = 17; \)
\( S_3 = 6 \cdot 3 + 5 = 23; \)
\( a_1 = S_1 = 11; \)
\( a_2 = S_2 — S_1 = 17 — 11 = 6; \)
\( a_3 = S_3 — S_2 = 23 — 17 = 6; \)
Ответ: нет.
Задача: Является ли последовательность \( (x_n) \) арифметической прогрессией, если сумма первых \( n \) её членов может быть найдена по формуле:
а) \( S_n = -n^2 + 3n; \)
Решение:
Для начала вычислим \( S_{n-1} \), используя формулу для \( S_n \):
\( S_{n-1} = -(n-1)^2 + 3(n-1); \)
Раскроем и упростим это выражение:
\( S_{n-1} = -(n^2 — 2n + 1) + 3n — 3 = -n^2 + 2n — 1 + 3n — 3 = -n^2 + 5n — 4; \)
Теперь вычислим \( x_n \) как разницу между суммами \( S_n \) и \( S_{n-1} \):
\( x_n = S_n — S_{n-1} = (-n^2 + 3n) — (-n^2 + 5n — 4); \)
\( x_n = -n^2 + 3n + n^2 — 5n + 4 = 4 — 2n; \)
Теперь вычислим \( x_{n+1} \):
\( x_{n+1} = 4 — 2(n + 1) = 4 — 2n — 2 = 2 — 2n; \)
Найдем разность между соседними членами прогрессии:
\( d = x_{n+1} — x_n = (2 — 2n) — (4 — 2n) = 2 — 4 = -2; \)
Так как разность между соседними членами постоянна, последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: да.
б) \( S_n = 2n^2 — 1; \)
Решение:
Вычислим несколько значений суммы:
\( S_1 = 2 \cdot 1^2 — 1 = 1, \, S_2 = 2 \cdot 2^2 — 1 = 7, \, S_3 = 2 \cdot 3^2 — 1 = 17; \)
Теперь найдем члены прогрессии:
Первый член: \( a_1 = S_1 = 1 \);
Второй член: \( a_2 = S_2 — S_1 = 7 — 1 = 6 \);
Третий член: \( a_3 = S_3 — S_2 = 17 — 7 = 10 \);
Теперь вычислим разности между соседними членами:
\( d_1 = a_2 — a_1 = 6 — 1 = 5, \, d_2 = a_3 — a_2 = 10 — 6 = 4; \)
Так как разности между соседними членами разные, последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет.
в) \( S_n = n^2 + 2n — 8; \)
Решение:
Вычислим несколько значений суммы:
\( S_1 = 1^2 + 2 \cdot 1 — 8 = -5, \, S_2 = 2^2 + 2 \cdot 2 — 8 = 0, \, S_3 = 3^2 + 2 \cdot 3 — 8 = 7; \)
Теперь найдем члены прогрессии:
Первый член: \( a_1 = S_1 = -5 \);
Второй член: \( a_2 = S_2 — S_1 = 0 — (-5) = 5 \);
Третий член: \( a_3 = S_3 — S_2 = 7 — 0 = 7 \);
Теперь вычислим разности между соседними членами:
\( d_1 = a_2 — a_1 = 5 — (-5) = 10, \, d_2 = a_3 — a_2 = 7 — 5 = 2; \)
Так как разности между соседними членами разные, последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет.
г) \( S_n = 6n + 5; \)
Решение:
Вычислим несколько значений суммы:
\( S_1 = 6 \cdot 1 + 5 = 11, \, S_2 = 6 \cdot 2 + 5 = 17, \, S_3 = 6 \cdot 3 + 5 = 23; \)
Теперь найдем члены прогрессии:
Первый член: \( a_1 = S_1 = 11 \);
Второй член: \( a_2 = S_2 — S_1 = 17 — 11 = 6 \);
Третий член: \( a_3 = S_3 — S_2 = 23 — 17 = 6 \);
Теперь вычислим разности между соседними членами:
\( d_1 = a_2 — a_1 = 6 — 11 = -5, \, d_2 = a_3 — a_2 = 6 — 6 = 0; \)
Так как разности между соседними членами разные, последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.