ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 694 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \( \frac{x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n}{x \cdot x^3 \cdot x^5 \cdot \ldots \cdot x^{2n-1}}; \)

б) \( \frac{x^2 \cdot x^4 \cdot x^6 \cdot \ldots \cdot x^{2n}}{x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n}. \)

а)
\[
x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n / x \cdot x^3 \cdot x^5 \cdot \ldots \cdot x^{2n-1} =
\]

\[
x^{1+2+3+\ldots+n} / x^{1+3+5+\ldots+(2n-1)} =
\]

\[
x^{\frac{1+n}{2} \cdot n} / x^{\frac{1+(2n-1)}{2} \cdot n} =
\]

\[
x^{\frac{n^2+n}{2}} / x^{\frac{2n^2}{2}} = x^{\frac{n^2+n}{2} — \frac{n^2}{2}} = x^{\frac{n-n^2}{2}};
\]

Ответ \[x^{\frac{n-n^2}{2}}.\]

б)
\[
x^2 \cdot x^4 \cdot x^6 \cdot \ldots \cdot x^{2n} / x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n =
\]

\[
x^{2+4+6+8+\ldots+2n} / x^{1+2+3+4+\ldots+n} =
\]

\[
x^{\frac{2+2n}{2} \cdot n} / x^{\frac{1+n}{2} \cdot n} =
\]

\[
x^{\frac{2n^2+2n}{2}} / x^{\frac{n^2+n}{2}} = x^{\frac{2n^2+2n}{2} — \frac{n^2+n}{2}} = x^{\frac{n^2+n}{2}};
\]

Ответ: \[x^{\frac{n^2+n}{2}}.\]

Задача: Упростите выражение.

Решение:

а)

Исходное выражение:

\( \frac{x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n}{x \cdot x^3 \cdot x^5 \cdot \ldots \cdot x^{2n-1}} \).

Применяем свойства степеней (суммируем показатели степени):

\( = \frac{x^{1+2+3+\ldots+n}}{x^{1+3+5+\ldots+(2n-1)}} \).

Для числителя: сумма всех чисел от 1 до \( n \) — это сумма первых \( n \) чисел, которая равна:

\( \frac{n(n+1)}{2} \). То есть, числитель становится \( x^{\frac{n(n+1)}{2}} \).

Для знаменателя: сумма всех нечётных чисел от 1 до \( 2n-1 \) — это сумма первых \( n \) нечётных чисел, которая равна:

\( \frac{n(2n-1)}{2} \). Знаменатель становится \( x^{\frac{n(2n-1)}{2}} \).

Теперь подставим эти значения:

\( \frac{x^{\frac{n(n+1)}{2}}}{x^{\frac{n(2n-1)}{2}}} = x^{\frac{n(n+1)}{2} — \frac{n(2n-1)}{2}} = x^{\frac{n^2+n}{2} — \frac{2n^2-n}{2}} = x^{\frac{n-n^2}{2}} \).

Ответ: \( x^{\frac{n-n^2}{2}} \).

б)

Исходное выражение:

\( \frac{x^2 \cdot x^4 \cdot x^6 \cdot \ldots \cdot x^{2n}}{x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n} \).

Применяем свойства степеней (суммируем показатели степени):

\( = \frac{x^{2+4+6+8+\ldots+2n}}{x^{1+2+3+4+\ldots+n}} \).

Для числителя: сумма чётных чисел от 2 до \( 2n \) равна:

\( \frac{2n(n+1)}{2} \). То есть, числитель становится \( x^{\frac{2n(n+1)}{2}} \).

Для знаменателя: сумма чисел от 1 до \( n \) равна:

\( \frac{n(n+1)}{2} \). Знаменатель становится \( x^{\frac{n(n+1)}{2}} \).

Теперь подставим эти значения:

\( \frac{x^{\frac{2n(n+1)}{2}}}{x^{\frac{n(n+1)}{2}}} = x^{\frac{2n(n+1)}{2} — \frac{n(n+1)}{2}} = x^{\frac{n^2+n}{2}} \).

Ответ: \( x^{\frac{n^2+n}{2}} \).