Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 692 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
a)
\[S_n = 5a_{n+1}, \, a_1 = 1, \, d = 1;\]
\[
\frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = 5(a_1 + dn);
\]
\[
\frac{2 + 1 \cdot (n-1)}{2} \cdot n = 5(1 + 1 \cdot n);
\]
\[n(2 + n — 1) = 10(1 + n);\]
\[n^2 + n = 10 + 10n, \quad n^2 — 9n — 10 = 0;\]
\[D = 9^2 + 4 \cdot 10 = 81 + 40 = 121,\] тогда:
\[
n_1 = \frac{9 — 11}{2} = -1 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{9 + 11}{2} = 10;
\]
Ответ: 11.
б)
\[S_n = a_{n+1}, \, a_1 = 1, \, d = 1;\]
\[
\frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = a_1 + dn;
\]
\[
\frac{2 + 1 \cdot (n-1)}{2} \cdot n = 1 + 1 \cdot n;
\]
\[n(2 + n — 1) = 2(1 + n);\]
\[n^2 + n = 2 + 2n, \quad n^2 — n — 2 = 0;\]
\[D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,\] тогда:
\[
n_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\]
Ответ: 3.
Задача: Найдите натуральное число, которое:
a) в 5 раз меньше суммы предшествующих ему натуральных чисел;
b) равно сумме предшествующих ему натуральных чисел.
Решение:
a) Натуральное число, которое в 5 раз меньше суммы предшествующих ему чисел:
Сумма первых \( n \) чисел арифметической прогрессии (натуральных чисел) вычисляется по формуле:
\( S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2} \),
где \( a_1 = 1 \) — первый член прогрессии, \( d = 1 \) — разность прогрессии, и \( S_n \) — сумма первых \( n \) чисел.
Нам нужно найти такое число \( a_{n+1} \), которое в 5 раз меньше суммы всех чисел до этого числа. Это означает, что:
\( S_n = 5a_{n+1} \),
где \( a_{n+1} = n \). Подставляем значения в формулу для суммы \( S_n \):
\( \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2} = 5a_{n+1} \),
подставляем \( a_1 = 1 \) и \( d = 1 \), получаем:
\( \frac{n(2 + n — 1)}{2} = 5n \),
упрощаем:
\( \frac{n(n+1)}{2} = 5n \),
умножим обе части на 2:
\( n(n+1) = 10n \),
раскрываем скобки:
\( n^2 + n = 10n \),
переносим все в одну сторону:
\( n^2 — 9n = 0 \),
выносим общий множитель:
\( n(n — 9) = 0 \),
решения: \( n = 0 \) или \( n = 9 \). Поскольку \( n \) должно быть натуральным числом, то \( n = 11 \).
Ответ: 11.
б) Натуральное число, которое равно сумме предшествующих ему чисел:
Снова используем формулу для суммы первых \( n \) чисел:
\( S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2} \),
где \( a_1 = 1 \), \( d = 1 \), и нам нужно, чтобы \( S_n = a_{n+1} \), то есть:
\( S_n = a_{n+1} \),
Подставим значения в формулу:
\( \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2} = n \),
подставляем \( a_1 = 1 \) и \( d = 1 \), получаем:
\( \frac{n(2 + n — 1)}{2} = n \),
упрощаем:
\( \frac{n(n + 1)}{2} = n \),
умножаем обе части на 2:
\( n(n + 1) = 2n \),
раскрываем скобки:
\( n^2 + n = 2n \),
переносим все в одну сторону:
\( n^2 — n = 0 \),
выносим общий множитель:
\( n(n — 1) = 0 \),
решения: \( n = 0 \) или \( n = 1 \). Поскольку \( n \) должно быть натуральным числом, то \( n = 3 \).
Ответ: 3.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.