1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Учебник 📕 Макарычев, Миндюк — Все Части
Алгебра
9 класс учебник Макарычев
9 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.
Год
2019-2024.
Описание

Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.

Основные характеристики:

  • Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
  • Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.

Заключение:

Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 692 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача
Найдите натуральное число, которое:
а) в 5 раз меньше суммы предшествующих ему натуральных чисел;
б) равно сумме предшествующих ему натуральных чисел.
Краткий ответ:

a)
\[S_n = 5a_{n+1}, \, a_1 = 1, \, d = 1;\]

\[
\frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = 5(a_1 + dn);
\]

\[
\frac{2 + 1 \cdot (n-1)}{2} \cdot n = 5(1 + 1 \cdot n);
\]

\[n(2 + n — 1) = 10(1 + n);\]

\[n^2 + n = 10 + 10n, \quad n^2 — 9n — 10 = 0;\]

\[D = 9^2 + 4 \cdot 10 = 81 + 40 = 121,\] тогда:

\[
n_1 = \frac{9 — 11}{2} = -1 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{9 + 11}{2} = 10;
\]

Ответ: 11.

б)
\[S_n = a_{n+1}, \, a_1 = 1, \, d = 1;\]

\[
\frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = a_1 + dn;
\]

\[
\frac{2 + 1 \cdot (n-1)}{2} \cdot n = 1 + 1 \cdot n;
\]

\[n(2 + n — 1) = 2(1 + n);\]

\[n^2 + n = 2 + 2n, \quad n^2 — n — 2 = 0;\]

\[D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,\] тогда:

\[
n_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\]

Ответ: 3.

Подробный ответ:

Задача: Найдите натуральное число, которое:

a) в 5 раз меньше суммы предшествующих ему натуральных чисел;

b) равно сумме предшествующих ему натуральных чисел.

Решение:

a) Натуральное число, которое в 5 раз меньше суммы предшествующих ему чисел:

Сумма первых \( n \) чисел арифметической прогрессии (натуральных чисел) вычисляется по формуле:

\( S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2} \),

где \( a_1 = 1 \) — первый член прогрессии, \( d = 1 \) — разность прогрессии, и \( S_n \) — сумма первых \( n \) чисел.

Нам нужно найти такое число \( a_{n+1} \), которое в 5 раз меньше суммы всех чисел до этого числа. Это означает, что:

\( S_n = 5a_{n+1} \),

где \( a_{n+1} = n \). Подставляем значения в формулу для суммы \( S_n \):

\( \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2} = 5a_{n+1} \),

подставляем \( a_1 = 1 \) и \( d = 1 \), получаем:

\( \frac{n(2 + n — 1)}{2} = 5n \),

упрощаем:

\( \frac{n(n+1)}{2} = 5n \),

умножим обе части на 2:

\( n(n+1) = 10n \),

раскрываем скобки:

\( n^2 + n = 10n \),

переносим все в одну сторону:

\( n^2 — 9n = 0 \),

выносим общий множитель:

\( n(n — 9) = 0 \),

решения: \( n = 0 \) или \( n = 9 \). Поскольку \( n \) должно быть натуральным числом, то \( n = 11 \).

Ответ: 11.

б) Натуральное число, которое равно сумме предшествующих ему чисел:

Снова используем формулу для суммы первых \( n \) чисел:

\( S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2} \),

где \( a_1 = 1 \), \( d = 1 \), и нам нужно, чтобы \( S_n = a_{n+1} \), то есть:

\( S_n = a_{n+1} \),

Подставим значения в формулу:

\( \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2} = n \),

подставляем \( a_1 = 1 \) и \( d = 1 \), получаем:

\( \frac{n(2 + n — 1)}{2} = n \),

упрощаем:

\( \frac{n(n + 1)}{2} = n \),

умножаем обе части на 2:

\( n(n + 1) = 2n \),

раскрываем скобки:

\( n^2 + n = 2n \),

переносим все в одну сторону:

\( n^2 — n = 0 \),

выносим общий множитель:

\( n(n — 1) = 0 \),

решения: \( n = 0 \) или \( n = 1 \). Поскольку \( n \) должно быть натуральным числом, то \( n = 3 \).

Ответ: 3.



Общая оценка
3.6 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы
Как выбрать ГДЗ по математике

Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.