1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Учебник 📕 Макарычев, Миндюк — Все Части
Алгебра
9 класс учебник Макарычев
9 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.
Год
2019-2024.
Описание

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 691 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача
Какова сумма натуральных чисел:
а) меньших 100 и не кратных 3;
б) больших 50, но меньших 150 и не кратных 5?
Краткий ответ:

a)
\[n < 100, \, n \uparrow 3;\]
Сумма всех чисел:
\[a_1 = 1, \, a_n = 99, \, d = 1;\]

\[n = 99, \, S_{99} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot 99;\]

\[
S_{99} = \frac{1 + 99}{2} \cdot 99 = 4950;
\]

Сумма кратных чисел:
\[a_1 = 3, \, a_n = 99, \, d = 3;\]

\[
n = \frac{99 — 3}{3} + 1 = 33;
\]

\[
S_{33} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot 33 = \frac{3 + 99}{2} \cdot 33;
\]

\[
S_{33} = \frac{102}{2} \cdot 33 = 51 \cdot 33 = 1683;
\]

Сумма искомых чисел:
\[
S = 4950 — 1683 = 3267;
\]

Ответ: 3267.

б)
\[50 < n < 150, \, n \uparrow 5;\]
Сумма всех чисел:
\[a_1 = 51, \, a_n = 149, \, d = 1;\]

\[
n = (149 — 51) + 1 = 99;
\]

\[
S_{99} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot 99 = \frac{51 + 149}{2} \cdot 99;
\]

\[
S_{99} = \frac{200}{2} \cdot 99 = 100 \cdot 99 = 9900;
\]

Сумма кратных чисел:
\[a_1 = 55, \, a_n = 145, \, d = 5;\]

\[
n = \frac{145 — 55}{5} + 1 = 19;
\]

\[
S_{19} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot 19 = \frac{55 + 145}{2} \cdot 19;
\]

\[
S_{19} = \frac{200}{2} \cdot 19 = 100 \cdot 19 = 1900;
\]

Сумма искомых чисел:
\[
S = 9900 — 1900 = 8000;
\]
Ответ: 8000.

Подробный ответ:

а)

Нам необходимо найти сумму всех натуральных чисел, меньших 100, которые не делятся на 3. То есть мы сначала найдем сумму всех чисел от 1 до 99 включительно, затем отдельно посчитаем сумму всех чисел, делящихся на 3, и вычтем это значение из общей суммы.

1. Сумма всех чисел от 1 до 99 включительно:

  • Первый член арифметической прогрессии: a1 = 1
  • Последний член: an = 99
  • Разность: d = 1
  • Количество членов прогрессии: n = 99

Воспользуемся формулой суммы членов арифметической прогрессии:

Sn = (a1 + an)/2 × n

Подставляем значения:

S99 = (1 + 99)/2 × 99 = 100/2 × 99 = 50 × 99 = 4950

2. Сумма всех чисел от 1 до 99, которые делятся на 3:

  • Первый член: a1 = 3
  • Последний член: an = 99
  • Разность: d = 3

Сначала определим, сколько таких чисел:

Формула n-го члена арифметической прогрессии: an = a1 + (n-1)d
Преобразуем: 99 = 3 + (n-1) × 3 → 99 — 3 = 3(n-1) → 96 = 3(n-1) → n-1 = 32 → n = 33

Значит, всего 33 числа, которые делятся на 3 в этом промежутке.

Теперь находим сумму:

S33 = (3 + 99)/2 × 33 = 102/2 × 33 = 51 × 33 = 1683

3. Сумма всех чисел, которые не делятся на 3:

Из суммы всех чисел вычитаем сумму кратных 3:

S = 4950 — 1683 = 3267

Ответ: 3267

б)

Теперь задача — найти сумму всех натуральных чисел между 50 и 150 (то есть 51, 52, …, 149), которые не делятся на 5.

1. Сумма всех чисел от 51 до 149 включительно:

  • Первый член: a1 = 51
  • Последний член: an = 149
  • Разность: d = 1

Число членов прогрессии:

n = 149 — 51 + 1 = 98 + 1 = 99

Считаем сумму:

S99 = (51 + 149)/2 × 99 = 200/2 × 99 = 100 × 99 = 9900

2. Сумма всех чисел от 51 до 149, которые делятся на 5:

  • Первый такой член: ближайшее к 51 число, делящееся на 5, это 55
  • Последний такой член: ближайшее к 149 число, делящееся на 5, это 145
  • Разность: d = 5

Определим количество таких чисел:

n = (145 — 55)/5 + 1 = 90/5 + 1 = 18 + 1 = 19

Вычисляем сумму:

S19 = (55 + 145)/2 × 19 = 200/2 × 19 = 100 × 19 = 1900

3. Сумма всех чисел, которые не делятся на 5:

Вычитаем сумму кратных 5 из общей суммы:

S = 9900 — 1900 = 8000

Ответ: 8000



Общая оценка
4.7 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы
Как выбрать ГДЗ по математике

Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.