1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Учебник 📕 Макарычев, Миндюк — Все Части
Алгебра
9 класс учебник Макарычев
9 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.
Год
2019-2024.
Описание

Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.

Основные характеристики:

  • Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
  • Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.

Заключение:

Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 690 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача
Найдите сумму:
а) всех натуральных чётных чисел, не превосходящих 200;
б) всех натуральных нечётных чисел, не превосходящих 150;
в) всех натуральных чисел, кратных 3, заключённых в промежутке от 100 до 200.
Краткий ответ:

a)
\[a_1 = 2, \, a_n = 200, \, d = 2;\]

\[n = \frac{200 — 2}{2} + 1 = 100;\]

\[
S_{100} = \frac{a_1 + a_{100}}{2} \cdot 100 = 50(2 + 200);
\]

\[
S_{100} = 50 \cdot 202 = 10\,100;
\]

Ответ: 10 100.

б)
\[a_1 = 1, \, a_n = 149, \, d = 2;\]

\[n = \frac{149 — 1}{2} + 1 = 75;\]

\[
S_{75} = \frac{a_1 + a_{75}}{2} \cdot 75 = \frac{1 + 149}{2} \cdot 75;
\]

\[
S_{75} = 75 \cdot 75 = 5625;
\]

Ответ: 5625.

в)
\[a_1 = 102, \, a_n = 198, \, d = 3;\]

\[n = \frac{198 — 102}{3} + 1 = 33;\]

\[
S_{33} = \frac{a_1 + a_{33}}{2} \cdot 33 = \frac{102 + 198}{2} \cdot 33;
\]

\[
S_{33} = 150 \cdot 33 = 4950;
\]

Ответ: 4950.

Подробный ответ:

Задача: Найдите сумму:

a) всех натуральных чётных чисел, не превосходящих 200;

b) всех натуральных нечётных чисел, не превосходящих 150;

c) всех натуральных чисел, кратных 3, заключённых в промежутке от 100 до 200.

Решение:

a) Сумма всех натуральных чётных чисел, не превосходящих 200:

Чётные числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом \( a_1 = 2 \), разностью \( d = 2 \), и последним членом \( a_n = 200 \). Для нахождения количества членов прогрессии используем формулу для общего члена арифметической прогрессии:

\( a_n = a_1 + (n-1)d \)

Подставим известные значения:

\( 200 = 2 + (n-1) \cdot 2 \),

решим для \( n \):

\( 200 — 2 = (n-1) \cdot 2 \),

\( 198 = (n-1) \cdot 2 \),

\( n — 1 = \frac{198}{2} = 99 \),

\( n = 100 \).

Теперь вычислим сумму первых 100 членов арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2 + 200}{2} \cdot 100 = 50 \cdot 202 = 10\,100 \).

Ответ: \( S = 10 100 \).

б) Сумма всех натуральных нечётных чисел, не превосходящих 150:

Нечётные числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом \( a_1 = 1 \), разностью \( d = 2 \), и последним членом \( a_n = 149 \). Для нахождения количества членов прогрессии используем ту же формулу для общего члена:

\( a_n = a_1 + (n-1)d \)

Подставим известные значения:

\( 149 = 1 + (n-1) \cdot 2 \),

\( 149 — 1 = (n-1) \cdot 2 \),

\( 148 = (n-1) \cdot 2 \),

\( n — 1 = \frac{148}{2} = 74 \),

\( n = 75 \).

Теперь вычислим сумму первых 75 членов арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1 + 149}{2} \cdot 75 = \frac{150}{2} \cdot 75 = 75 \cdot 75 = 5625 \).

Ответ: \( S = 5625 \).

c) Сумма всех натуральных чисел, кратных 3, заключённых в промежутке от 100 до 200:

Числа, кратные 3, образуют арифметическую прогрессию с первым членом \( a_1 = 102 \) (первое число, кратное 3, после 100), разностью \( d = 3 \), и последним членом \( a_n = 198 \) (последнее число, кратное 3, до 200). Для нахождения количества членов прогрессии используем формулу для общего члена:

\( a_n = a_1 + (n-1)d \)

Подставим известные значения:

\( 198 = 102 + (n-1) \cdot 3 \),

\( 198 — 102 = (n-1) \cdot 3 \),

\( 96 = (n-1) \cdot 3 \),

\( n — 1 = \frac{96}{3} = 32 \),

\( n = 33 \).

Теперь вычислим сумму первых 33 членов арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{102 + 198}{2} \cdot 33 = \frac{300}{2} \cdot 33 = 150 \cdot 33 = 4950 \).

Ответ: \( S = 4950 \).



Общая оценка
4.5 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы
Как выбрать ГДЗ по математике

Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.