Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 690 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
a)
\[a_1 = 2, \, a_n = 200, \, d = 2;\]
\[n = \frac{200 — 2}{2} + 1 = 100;\]
\[
S_{100} = \frac{a_1 + a_{100}}{2} \cdot 100 = 50(2 + 200);
\]
\[
S_{100} = 50 \cdot 202 = 10\,100;
\]
Ответ: 10 100.
б)
\[a_1 = 1, \, a_n = 149, \, d = 2;\]
\[n = \frac{149 — 1}{2} + 1 = 75;\]
\[
S_{75} = \frac{a_1 + a_{75}}{2} \cdot 75 = \frac{1 + 149}{2} \cdot 75;
\]
\[
S_{75} = 75 \cdot 75 = 5625;
\]
Ответ: 5625.
в)
\[a_1 = 102, \, a_n = 198, \, d = 3;\]
\[n = \frac{198 — 102}{3} + 1 = 33;\]
\[
S_{33} = \frac{a_1 + a_{33}}{2} \cdot 33 = \frac{102 + 198}{2} \cdot 33;
\]
\[
S_{33} = 150 \cdot 33 = 4950;
\]
Ответ: 4950.
Задача: Найдите сумму:
a) всех натуральных чётных чисел, не превосходящих 200;
b) всех натуральных нечётных чисел, не превосходящих 150;
c) всех натуральных чисел, кратных 3, заключённых в промежутке от 100 до 200.
Решение:
a) Сумма всех натуральных чётных чисел, не превосходящих 200:
Чётные числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом \( a_1 = 2 \), разностью \( d = 2 \), и последним членом \( a_n = 200 \). Для нахождения количества членов прогрессии используем формулу для общего члена арифметической прогрессии:
\( a_n = a_1 + (n-1)d \)
Подставим известные значения:
\( 200 = 2 + (n-1) \cdot 2 \),
решим для \( n \):
\( 200 — 2 = (n-1) \cdot 2 \),
\( 198 = (n-1) \cdot 2 \),
\( n — 1 = \frac{198}{2} = 99 \),
\( n = 100 \).
Теперь вычислим сумму первых 100 членов арифметической прогрессии:
\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2 + 200}{2} \cdot 100 = 50 \cdot 202 = 10\,100 \).
Ответ: \( S = 10 100 \).
б) Сумма всех натуральных нечётных чисел, не превосходящих 150:
Нечётные числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом \( a_1 = 1 \), разностью \( d = 2 \), и последним членом \( a_n = 149 \). Для нахождения количества членов прогрессии используем ту же формулу для общего члена:
\( a_n = a_1 + (n-1)d \)
Подставим известные значения:
\( 149 = 1 + (n-1) \cdot 2 \),
\( 149 — 1 = (n-1) \cdot 2 \),
\( 148 = (n-1) \cdot 2 \),
\( n — 1 = \frac{148}{2} = 74 \),
\( n = 75 \).
Теперь вычислим сумму первых 75 членов арифметической прогрессии:
\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1 + 149}{2} \cdot 75 = \frac{150}{2} \cdot 75 = 75 \cdot 75 = 5625 \).
Ответ: \( S = 5625 \).
c) Сумма всех натуральных чисел, кратных 3, заключённых в промежутке от 100 до 200:
Числа, кратные 3, образуют арифметическую прогрессию с первым членом \( a_1 = 102 \) (первое число, кратное 3, после 100), разностью \( d = 3 \), и последним членом \( a_n = 198 \) (последнее число, кратное 3, до 200). Для нахождения количества членов прогрессии используем формулу для общего члена:
\( a_n = a_1 + (n-1)d \)
Подставим известные значения:
\( 198 = 102 + (n-1) \cdot 3 \),
\( 198 — 102 = (n-1) \cdot 3 \),
\( 96 = (n-1) \cdot 3 \),
\( n — 1 = \frac{96}{3} = 32 \),
\( n = 33 \).
Теперь вычислим сумму первых 33 членов арифметической прогрессии:
\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{102 + 198}{2} \cdot 33 = \frac{300}{2} \cdot 33 = 150 \cdot 33 = 4950 \).
Ответ: \( S = 4950 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.