ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 687 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найти в прогрессии:

а) \( d = -0.4, \, n = 12, \, a_n = 2.4; \)

\( a_{12} = a_1 + 11d, \, a_1 — 4.4 = 2.4; \)

\( a_1 = 6.8, \, S_{12} = \frac{a_1 + a_{12}}{2} \cdot 12; \)

\( S_{12} = 6(6.8 + 2.4) = 55.2; \)

Ответ: \( a_1 = 6.8; \, S_n = 55.2. \)

б) \( a_1 = -35, \, d = 5, \, S_n = 250; \)

\( S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n = 250; \)

\( n(-70 + 5n — 5) = 500; \)

\( 5n^2 — 75n — 500 = 0; \)

\( n^2 — 15n — 100 = 0; \)

\( D = 15^2 + 4 \cdot 100 = 225 + 400 = 625, \text{ тогда:} \)

\( n_1 = \frac{15 + 25}{2} = -5 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{15 + 25}{2} = \frac{40}{2} = 20; \)

\( a_{20} = a_1 + 19d = 19 \cdot 5 — 35 = 95 — 35 = 60; \)

Ответ: \( n = 20; \, a_n = 60. \)

в) \( d = \frac{1}{2}, \, a_n = 50, \, S_n = 2525; \)

\( a_n = a_1 + d(n — 1), \, a_1 + \frac{n}{2} — \frac{1}{2} = 50; \)

\( a_1 = 50.5 — 0.5n, \, S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n; \)

\( \frac{50.5 — 0.5n + 50}{2} \cdot n = 2525; \)

\( n(100.5 — 0.5n) = 5050; \)

\( 0.5n^2 — 100.5n + 5050 = 0; \)

\( n^2 — 201n + 10100 = 0; \)

\( D = 201^2 — 4 \cdot 10 \cdot 100 = 40401 — 40400 = 1, \text{ тогда:} \)

\( n_1 = \frac{201 — 1}{2} = 100 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{201 + 1}{2} = \frac{202}{2} = 101; \)

\( a_{1,1} = 50.5 — 50 = 0.5 \quad \text{и} \quad a_{1,2} = 50.5 — 50.5 = 0; \)

Ответ: \( a_1 = 0.5; \, n = 100 \) или \( a_1 = 0; \, n = 101. \)

г) \( a_1 = -\frac{1}{2}, \, a_n = -29\frac{1}{2}, \, S_n = -450; \)

\( a_n = a_1 + d(n — 1), \, -\frac{1}{2} + d(n — 1) = -29\frac{1}{2}; \)

\( d(n — 1) = -29, \, S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n; \)

\( \frac{-1 — 29}{2} \cdot n = -450, \, -30n = -900; \)

\( n = 30, \, d = \frac{29}{1 — n} = \frac{29}{1 — 30} = -1; \)

Ответ: \( d = -1; \, n = 30. \)

а)
Заданы: \( d = -0,4 \), \( n = 12 \), \( a_n = 2,4 \).

1) Используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии:
\[
a_{12} = a_1 + 11d
\]

Подставляем \( a_{12} = 2,4 \):
\[
a_1 + 11 \cdot (-0,4) = 2,4
\]

Упрощаем:
\[
a_1 — 4,4 = 2,4
\]

Решаем для \( a_1 \):
\[
a_1 = 2,4 + 4,4 = 6,8
\]

2) Теперь найдем сумму первых 12 членов прогрессии с помощью формулы:
\[
S_{12} = \frac{a_1 + a_{12}}{2} \cdot 12
\]

Подставляем \( a_1 = 6,8 \) и \( a_{12} = 2,4 \):
\[
S_{12} = \frac{6,8 + 2,4}{2} \cdot 12 = 6 \cdot 9,2 = 55,2
\]

Ответ: \( a_1 = 6,8 \); \( S_{12} = 55,2 \)

б)
Заданы: \( a_1 = -35 \), \( d = 5 \), \( S_n = 250 \).

1) Используем формулу для суммы арифметической прогрессии:
\[
S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n
\]

Подставляем известные значения:
\[
250 = \frac{2 \cdot (-35) + 5(n — 1)}{2} \cdot n
\]

Упростим:
\[
250 = \frac{-70 + 5n — 5}{2} \cdot n = \frac{5n — 75}{2} \cdot n
\]

Умножим обе части на 2:
\[
500 = (5n — 75) \cdot n
\]

Раскроем скобки:
\[
500 = 5n^2 — 75n
\]

Переносим все на одну сторону:
\[
5n^2 — 75n — 500 = 0
\]

Разделим на 5:
\[
n^2 — 15n — 100 = 0
\]

Находим дискриминант:
\[
D = (-15)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625
\]

Находим корни:
\[
n_1 = \frac{15 — 25}{2} = -5 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{15 + 25}{2} = 20
\]

Таким образом, \( n = 20 \).

2) Найдем \( a_{20} \):
\[
a_{20} = a_1 + 19d = -35 + 19 \cdot 5 = -35 + 95 = 60
\]

Ответ: \( n = 20 \); \( a_{20} = 60 \)

в)
Заданы: \( d = \frac{1}{2} \), \( a_n = 50 \), \( S_n = 2525 \).

1) Используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии:
\[
a_n = a_1 + d(n — 1)
\]

Подставляем:
\[
50 = a_1 + \frac{n — 1}{2}
\]

2) Выразим \( a_1 \):
\[
a_1 = 50 — \frac{n}{2} + \frac{1}{2} = 50,5 — 0,5n
\]

3) Теперь используем формулу для суммы арифметической прогрессии:
\[
S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n
\]

Подставляем:
\[
2525 = \frac{50,5 — 0,5n + 50}{2} \cdot n
\]
4) Умножим обе стороны на 2:
\[
5050 = (100,5 — 0,5n) \cdot n
\]
Раскроем скобки:
\[
5050 = 100,5n — 0,5n^2
\]
Переносим все на одну сторону:
\[
0,5n^2 — 100,5n + 5050 = 0
\]
Разделим на 0,5:
\[
n^2 — 201n + 10100 = 0
\]
Находим дискриминант:
\[
D = (-201)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10100 = 40401 — 40400 = 1
\]
Находим корни:
\[
n_1 = \frac{201 — 1}{2} = 100 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{201 + 1}{2} = 101
\]
Таким образом, \( n = 100 \) или \( n = 101 \).

2) Найдем \( a_1 \) для каждого из значений \( n \):
— Для \( n = 100 \): \( a_1 = 50,5 — 0,5 \cdot 100 = 0,5 \)
— Для \( n = 101 \): \( a_1 = 50,5 — 0,5 \cdot 101 = 0 \)

Ответ: \( a_1 = 0,5 \); \( n = 100 \) или \( a_1 = 0 \); \( n = 101 \)

г)
Заданы: \( a_1 = -\frac{1}{2} \), \( a_n = -29 \frac{1}{2} \), \( S_n = -450 \).

1) Используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии:
\[
a_n = a_1 + d(n — 1)
\]
Подставляем:
\[
-\frac{1}{2} + d(n — 1) = -29 \frac{1}{2}
\]
2) Упростим:
\[
d(n — 1) = -29, \quad S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n
\]
Подставляем в формулу суммы:
\[
\frac{-1 — 29}{2} \cdot n = -450
\]
Упростим:
\[
\frac{-30}{2} \cdot n = -450
\]
\[
-15n = -450
\]
Решаем для \( n \):
\[
n = 30
\]
3) Теперь найдём \( d \):
\[
d = \frac{-29}{n — 1} = \frac{-29}{30 — 1} = -1
\]

Ответ: \( d = -1 \); \( n = 30 \)