ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 670 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

a)
\[ c_n = -2n^2 + 7; \]

\[
\begin{aligned}
c_1 & = -2 \cdot 1 + 7 = 7 — 2 = 5; \\
c_2 & = -2 \cdot 4 + 7 = 7 — 8 = -1; \\
c_3 & = -2 \cdot 9 + 7 = 7 — 18 = -11; \\
c_4 & = -2 \cdot 16 + 7 = 7 — 32 = -25; \\
c_5 & = -2 \cdot 25 + 7 = 7 — 50 = -43.
\end{aligned}
\]

б)
\[ c_n = \frac{100}{n^2 — 5}; \]

\[
\begin{aligned}
c_1 & = \frac{100}{1 — 5} = \frac{100}{-4} = -25; \\
c_2 & = \frac{100}{4 — 5} = \frac{100}{-1} = -100; \\
c_3 & = \frac{100}{9 — 5} = \frac{100}{4} = 25; \\
c_4 & = \frac{100}{16 — 5} = \frac{100}{11} = 9 \frac{1}{11}; \\
c_5 & = \frac{100}{25 — 5} = \frac{100}{20} = 5.
\end{aligned}
\]

в)
\[ c_n = -2.5 \cdot 2^n; \]

\[
\begin{aligned}
c_1 & = -2.5 \cdot 2 = -5; \\
c_2 & = -2.5 \cdot 4 = -10; \\
c_3 & = -2.5 \cdot 8 = -20; \\
c_4 & = -2.5 \cdot 16 = -40; \\
c_5 & = -2.5 \cdot 32 = -80.
\end{aligned}
\]

г)
\[ c_n = 3.2 \cdot 2^{-n}; \]

\[
\begin{aligned}
c_1 & = 3.2 \cdot \frac{1}{2} = 1.6; \\
c_2 & = 3.2 \cdot \frac{1}{4} = 0.8; \\
c_3 & = 3.2 \cdot \frac{1}{8} = 0.4; \\
c_4 & = 3.2 \cdot \frac{1}{16} = 0.2; \\
c_5 & = 3.2 \cdot \frac{1}{32} = 0.1.
\end{aligned}
\]

д)
\[ c_n = \frac{(-1)^{n-1}}{4n}; \]

\[
\begin{aligned}
c_1 & = \frac{(-1)^0}{4} = \frac{1}{4}; \\
c_2 & = \frac{(-1)^1}{8} = -\frac{1}{8}; \\
c_3 & = \frac{(-1)^2}{12} = \frac{1}{12}; \\
c_4 & = \frac{(-1)^3}{16} = -\frac{1}{16}; \\
c_5 & = \frac{(-1)^4}{20} = \frac{1}{20}.
\end{aligned}
\]

е)
\[ c_n = \frac{1 — (-1)^n}{2n + 1}; \]

\[
\begin{aligned}
c_1 & = \frac{1 — (-1)^1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{1 + 1}{3} = \frac{2}{3}; \\
c_2 & = \frac{1 — (-1)^2}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{1 — 1}{5} = 0; \\
c_3 & = \frac{1 — (-1)^3}{2 \cdot 3 + 1} = \frac{1 + 1}{7} = \frac{2}{7}; \\
c_4 & = \frac{1 — (-1)^4}{2 \cdot 4 + 1} = \frac{1 — 1}{9} = 0; \\
c_5 & = \frac{1 — (-1)^5}{2 \cdot 5 + 1} = \frac{1 + 1}{11} = \frac{2}{11}.
\end{aligned}
\]

a)
Дана формула для последовательности: \( c_n = -2n^2 + 7 \). Подставим значения \( n \) от 1 до 5 и развернём каждый вычислительный шаг:

• Для \( n = 1 \):
  1. Возводим 1 в квадрат: \( 1^2 = 1 \).
  2. Умножаем на -2: \( -2 \times 1 = -2 \).
  3. Прибавляем 7: \( -2 + 7 = 5 \).
  Ответ: \( c_1 = 5 \).
• Для \( n = 2 \):
  1. Возводим 2 в квадрат: \( 2^2 = 4 \).
  2. Умножаем на -2: \( -2 \times 4 = -8 \).
  3. Прибавляем 7: \( -8 + 7 = -1 \).
  Ответ: \( c_2 = -1 \).
• Для \( n = 3 \):
  1. Возводим 3 в квадрат: \( 3^2 = 9 \).
  2. Умножаем на -2: \( -2 \times 9 = -18 \).
  3. Прибавляем 7: \( -18 + 7 = -11 \).
  Ответ: \( c_3 = -11 \).
• Для \( n = 4 \):
  1. Возводим 4 в квадрат: \( 4^2 = 16 \).
  2. Умножаем на -2: \( -2 \times 16 = -32 \).
  3. Прибавляем 7: \( -32 + 7 = -25 \).
  Ответ: \( c_4 = -25 \).
• Для \( n = 5 \):
  1. Возводим 5 в квадрат: \( 5^2 = 25 \).
  2. Умножаем на -2: \( -2 \times 25 = -50 \).
  3. Прибавляем 7: \( -50 + 7 = -43 \).
  Ответ: \( c_5 = -43 \).

б)
Для последовательности \( c_n = \frac{100}{n^2 — 5} \) подробно вычислим каждый шаг:

• Для \( n = 1 \):
  1. Возводим 1 в квадрат: \( 1^2 = 1 \).
  2. Вычитаем 5: \( 1 — 5 = -4 \).
  3. Делим 100 на -4: \( \frac{100}{-4} = -25 \).
  Ответ: \( c_1 = -25 \).
• Для \( n = 2 \):
  1. Возводим 2 в квадрат: \( 2^2 = 4 \).
  2. Вычитаем 5: \( 4 — 5 = -1 \).
  3. Делим 100 на -1: \( \frac{100}{-1} = -100 \).
  Ответ: \( c_2 = -100 \).
• Для \( n = 3 \):
  1. Возводим 3 в квадрат: \( 3^2 = 9 \).
  2. Вычитаем 5: \( 9 — 5 = 4 \).
  3. Делим 100 на 4: \( \frac{100}{4} = 25 \).
  Ответ: \( c_3 = 25 \).
• Для \( n = 4 \):
  1. Возводим 4 в квадрат: \( 4^2 = 16 \).
  2. Вычитаем 5: \( 16 — 5 = 11 \).
  3. Делим 100 на 11: \( \frac{100}{11} = 9 \frac{1}{11} \) (или примерно 9.09).
  Ответ: \( c_4 = 9 \frac{1}{11} \).
• Для \( n = 5 \):
  1. Возводим 5 в квадрат: \( 5^2 = 25 \).
  2. Вычитаем 5: \( 25 — 5 = 20 \).
  3. Делим 100 на 20: \( \frac{100}{20} = 5 \).
  Ответ: \( c_5 = 5 \).

в)
Рассмотрим геометрическую последовательность \( c_n = -2.5 \cdot 2^n \) — распишем каждый шаг:

• Для \( n = 1 \):
  1. Степень: \( 2^1 = 2 \).
  2. Умножаем на -2.5: \( -2.5 \times 2 = -5 \).
  Ответ: \( c_1 = -5 \).
• Для \( n = 2 \):
  1. Степень: \( 2^2 = 4 \).
  2. Умножаем на -2.5: \( -2.5 \times 4 = -10 \).
  Ответ: \( c_2 = -10 \).
• Для \( n = 3 \):
  1. Степень: \( 2^3 = 8 \).
  2. Умножаем на -2.5: \( -2.5 \times 8 = -20 \).
  Ответ: \( c_3 = -20 \).
• Для \( n = 4 \):
  1. Степень: \( 2^4 = 16 \).
  2. Умножаем на -2.5: \( -2.5 \times 16 = -40 \).
  Ответ: \( c_4 = -40 \).
• Для \( n = 5 \):
  1. Степень: \( 2^5 = 32 \).
  2. Умножаем на -2.5: \( -2.5 \times 32 = -80 \).
  Ответ: \( c_5 = -80 \).

г)
Развернём вычисления для \( c_n = 3.2 \cdot 2^{-n} \) с показателем степени со знаком минус:

• Для \( n = 1 \):
  1. Отрицательная степень: \( 2^{-1} = \frac{1}{2} \).
  2. Умножаем на 3.2: \( 3.2 \times \frac{1}{2} = 1.6 \).
  Ответ: \( c_1 = 1.6 \).
• Для \( n = 2 \):
  1. \( 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \).
  2. \( 3.2 \times \frac{1}{4} = 0.8 \).
  Ответ: \( c_2 = 0.8 \).
• Для \( n = 3 \):
  1. \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \).
  2. \( 3.2 \times \frac{1}{8} = 0.4 \).
  Ответ: \( c_3 = 0.4 \).
• Для \( n = 4 \):
  1. \( 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} \).
  2. \( 3.2 \times \frac{1}{16} = 0.2 \).
  Ответ: \( c_4 = 0.2 \).
• Для \( n = 5 \):
  1. \( 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} \).
  2. \( 3.2 \times \frac{1}{32} = 0.1 \).
  Ответ: \( c_5 = 0.1 \).

д)
Последовательность \( c_n = \frac{(-1)^{n-1}}{4n} \) чередует знак в числителе (по формуле \((-1)^{n-1}\)), подробно:

• Для \( n = 1 \):
  1. \( (-1)^{1-1} = (-1)^0 = 1 \).
  2. \( 4 \times 1 = 4 \).
  3. \( \frac{1}{4} \).
  Ответ: \( c_1 = \frac{1}{4} \).
• Для \( n = 2 \):
  1. \( (-1)^{2-1} = (-1)^1 = -1 \).
  2. \( 4 \times 2 = 8 \).
  3. \( -\frac{1}{8} \).
  Ответ: \( c_2 = -\frac{1}{8} \).
• Для \( n = 3 \):
  1. \( (-1)^{3-1} = (-1)^2 = 1 \).
  2. \( 4 \times 3 = 12 \).
  3. \( \frac{1}{12} \).
  Ответ: \( c_3 = \frac{1}{12} \).
• Для \( n = 4 \):
  1. \( (-1)^{4-1} = (-1)^3 = -1 \).
  2. \( 4 \times 4 = 16 \).
  3. \( -\frac{1}{16} \).
  Ответ: \( c_4 = -\frac{1}{16} \).
• Для \( n = 5 \):
  1. \( (-1)^{5-1} = (-1)^4 = 1 \).
  2. \( 4 \times 5 = 20 \).
  3. \( \frac{1}{20} \).
  Ответ: \( c_5 = \frac{1}{20} \).

е)
В последовательности \( c_n = \frac{1 — (-1)^n}{2n + 1} \) числитель может быть равен 2 (для нечётных n) или 0 (для чётных n). Подробно разберём шаги:

• Для \( n = 1 \) (нечётное):
  1. \( (-1)^1 = -1 \).
  2. \( 1 — (-1) = 1 + 1 = 2 \).
  3. \( 2 \times 1 + 1 = 3 \).
  4. \( \frac{2}{3} \).
  Ответ: \( c_1 = \frac{2}{3} \).
• Для \( n = 2 \) (чётное):
  1. \( (-1)^2 = 1 \).
  2. \( 1 — 1 = 0 \).
  3. \( 2 \times 2 + 1 = 5 \).
  4. \( \frac{0}{5} = 0 \).
  Ответ: \( c_2 = 0 \).
• Для \( n = 3 \) (нечётное):
  1. \( (-1)^3 = -1 \).
  2. \( 1 — (-1) = 2 \).
  3. \( 2 \times 3 + 1 = 7 \).
  4. \( \frac{2}{7} \).
  Ответ: \( c_3 = \frac{2}{7} \).
• Для \( n = 4 \) (чётное):
  1. \( (-1)^4 = 1 \).
  2. \( 1 — 1 = 0 \).
  3. \( 2 \times 4 + 1 = 9 \).
  4. \( \frac{0}{9} = 0 \).
  Ответ: \( c_4 = 0 \).
• Для \( n = 5 \) (нечётное):
  1. \( (-1)^5 = -1 \).
  2. \( 1 — (-1) = 2 \).
  3. \( 2 \times 5 + 1 = 11 \).
  4. \( \frac{2}{11} \).
  Ответ: \( c_5 = \frac{2}{11} \).