ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 669 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

a)
\[ u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2n-1} = u_{2n}; \]

Проверим равенство:
\[ n = 1, \, u_1 = 1, \, u_{2n} = u_2 = 1; \]

Если \( n = k + 1 \), тогда:
\[ u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2k-1} + u_{2(k+1)-1} = \]

\[ = u_{2k} + u_{2k-1} = u_{2k+2} = u_{2(k+1)} = u_{2n}; \]

Что и требовалось доказать.

б)
\[ u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \dots + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1}; \]

Проверим равенство:
\[ n = 1, \, u_1^2 = 1, \, u_n \cdot u_{n+1} = 1; \]

Если \( n = k + 1 \), тогда:
\[ u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \dots + u_k^2 + u_{k+1}^2 = \]

\[ = u_k \cdot u_{k+1} + u_{k+1}^2 = u_{k+1} \cdot (u_k + u_{k+1}) = \]

\[ = u_{k+1} \cdot u_{k+2} = u_n \cdot u_{n+1}; \]

Что и требовалось доказать.

Задача: Пусть \( (u_n) \) — последовательность чисел Фибоначчи, то есть \( u_1 = 1 \), \( u_2 = 1 \), \( u_{n+2} = u_n + u_{n+1} \) при \( n > 2 \). Докажите, что эта последовательность обладает следующим свойством:

a) \( u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2n-1} = u_{2n} \);

b) \( u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \dots + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1} \).

Решение:

a) \( u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2n-1} = u_{2n} \):

Для доказательства этой формулы воспользуемся методом математической индукции.

База индукции:

Для \( n = 1 \):

Слева: \( u_1 = 1 \);

Справа: \( u_2 = 1 \). Мы видим, что равенство выполнено для \( n = 1 \).

Шаг индукции:

Предположим, что равенство верно для некоторого \( n = k \), то есть:

\( u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2k-1} = u_{2k} \).

Теперь покажем, что это верно для \( n = k + 1 \). Рассмотрим сумму для \( n = k + 1 \):

\( u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2(k+1)-1} = u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2k-1} + u_{2k+1} \).

По предположению индукции, сумма первых \( 2k-1 \) членов равна \( u_{2k} \). Таким образом, имеем:

\( u_{2k} + u_{2k+1} = u_{2k+2} = u_{2(k+1)} \),

что и требовалось доказать.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для всех натуральных \( n \).

Ответ для пункта a: \( u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2n-1} = u_{2n} \).

б) \( u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \dots + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1} \):

Для доказательства этой формулы также используем метод математической индукции.

База индукции:

Для \( n = 1 \):

Слева: \( u_1^2 = 1^2 = 1 \);

Справа: \( u_1 \cdot u_2 = 1 \cdot 1 = 1 \). Таким образом, равенство выполнено для \( n = 1 \).

Шаг индукции:

Предположим, что равенство верно для некоторого \( n = k \), то есть:

\( u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \dots + u_k^2 = u_k \cdot u_{k+1} \).

Теперь покажем, что это верно для \( n = k + 1 \). Рассмотрим сумму для \( n = k + 1 \):

\( u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \dots + u_k^2 + u_{k+1}^2 \).

По предположению индукции, сумма первых \( k \) членов равна \( u_k \cdot u_{k+1} \). Таким образом, имеем:

\( u_k \cdot u_{k+1} + u_{k+1}^2 = u_{k+1} \cdot (u_k + u_{k+1}) = u_{k+1} \cdot u_{k+2} \).

Это выражение равно \( u_{k+1} \cdot u_{k+2} = u_n \cdot u_{n+1} \), что и требовалось доказать.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для всех натуральных \( n \).

Ответ для пункта b: \( u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \dots + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1} \).