ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 667 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что последовательность (аn), в которой a1=-5, ak + 1 = ak + 10k + 5, можно задать формулой аn = 5n2-10.

1) Если \( n = 1 \), тогда:
\[ a_1 = 5 \cdot 1^2 — 10 = -5; \]

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:

\[ a_n = 5(k + 1)^2 — 10 = 5(k^2 + 2k + 1) — 10 = \]

\[ = 5k^2 + 10k + 5 — 10 = 5k^2 — 10 + 10k + 5 = \]

\[ = a_k + 10k + 5 = a_{k+1}, \]

\[ a_n = 5n^2 — 10; \]

Что и требовалось доказать.

Докажем формулу для последовательности \( a_n = 5n^2 — 10 \) с помощью математической индукции.

1) Проверим формулу для первого члена последовательности при \( n = 1 \):

\[
a_1 = 5 \cdot 1^2 — 10 = 5 — 10 = -5
\]

Формула верна для первого члена последовательности.

2) Пусть формула верна для \( n = k \), то есть:
\[
a_k = 5k^2 — 10
\]

Теперь рассмотрим следующий член, когда \( n = k + 1 \):

\[
a_{k+1} = 5(k + 1)^2 — 10
\]

Раскроем скобки и упростим выражение:
\[
= 5(k^2 + 2k + 1) — 10
\]

\[
= 5k^2 + 10k + 5 — 10
\]

\[
= 5k^2 + 10k — 5
\]

Теперь выразим \( a_{k+1} \) через предыдущий член \( a_k \):
\[
a_{k+1} = a_k + 10k + 5
\]

Так как по предположению индукции \( a_k = 5k^2 — 10 \), получаем:

\[
a_{k+1} = (5k^2 — 10) + 10k + 5 = 5k^2 + 10k — 5
\]

Таким образом, формула \( a_n = 5n^2 — 10 \) справедлива для любого натурального n.

Что и требовалось доказать.