ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 666 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Пусть (bn) — последовательность, в которой b1 = -3, bk + 1 = bk + 6k + 3. Докажите, что эту последовательность можно задать формулой bn = 3n2 — 6.

1) Если \( n = 1 \), тогда:
\[
b_1 = 3 \cdot 1^2 — 6 = -3;
\]

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:
\[
b_n = 3(k + 1)^2 — 6 = 3(k^2 + 2k + 1) — 6 =
\]

\[
= 3k^2 + 6k + 3 — 6 = 3k^2 — 6 + 6k + 3 =
\]

\[
= b_k + 6k + 3 = b_{k+1}, \quad b_n = 3n^2 — 6;
\]

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим формулу для последовательности \( b_n = 3n^2 — 6 \) и докажем её справедливость для всех натуральных чисел n с помощью математической индукции.

1) Проверим формулу для первого члена последовательности при \( n = 1 \):

\[
b_1 = 3 \cdot 1^2 — 6 = 3 — 6 = -3
\]

Формула верна для первого члена.

2) Предположим, что формула верна для некоторого \( n = k \), то есть:
\[
b_k = 3k^2 — 6
\]

Рассмотрим следующий член последовательности, когда \( n = k + 1 \):

\[
b_{k+1} = 3(k + 1)^2 — 6
\]

Раскроем скобки:
\[
3(k + 1)^2 — 6 = 3(k^2 + 2k + 1) — 6
\]

\[
= 3k^2 + 6k + 3 — 6
\]

\[
= 3k^2 + 6k + (3 — 6)
\]

\[
= 3k^2 + 6k — 3
\]

Теперь выразим \( b_{k+1} \) через предыдущий член:
\[
b_{k+1} = b_k + 6k + 3
\]

Так как по предположению индукции \( b_k = 3k^2 — 6 \), получаем:

\[
b_{k+1} = (3k^2 — 6) + 6k + 3 = 3k^2 + 6k — 3
\]

Таким образом, формула \( b_n = 3n^2 — 6 \) справедлива для любого натурального n.

Что и требовалось доказать.