ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 665 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

\[
1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \dots + n(3n+1) = n(n+1)^2;
\]

1) Если \( n = 1 \), тогда:

\[
1 \cdot (3 + 1) = 1 \cdot 4 = 4;
\]
\[
1 \cdot (1 + 1)^2 = 1 \cdot 4 = 4;
\]

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:

\[
1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + k(3k + 1) + (k + 1)(3(k + 1) + 1) =
\]
\[
= k(k + 1)^2 + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)(k^2 + k + 3k + 4) =
\]
\[
= (k + 1)(k^2 + 4k + 4) = (k + 1)(k + 2)^2 = (k + 1)((k + 1) + 1)^2;
\]

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим сумму чисел вида \( n(3n+1) \) и найдём для неё формулу:

1) Проверим равенство для \( n = 1 \):

Вычислим первое слагаемое:
\[
1 \cdot (3 + 1) = 1 \cdot 4 = 4
\]
Воспользуемся формулой:
\[
1 \cdot (1 + 1)^2 = 1 \cdot 4 = 4
\]
Обе части равны, формула выполняется.

2) Докажем по индукции, что формула верна для любого натурального n.
Пусть она верна для \( n = k \):

\[
1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + k(3k + 1) = k(k + 1)^2
\]

Теперь рассмотрим \( n = k + 1 \), то есть прибавим ещё одно слагаемое \((k + 1)(3(k + 1) + 1)\):

\[
1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + k(3k + 1) + (k + 1)(3(k + 1) + 1)
\]

Подставим по формуле для первых k членов:
\[
= k(k + 1)^2 + (k + 1)(3k + 4)
\]

Вынесем общий множитель \((k + 1)\):
\[
= (k + 1)\left[ k(k + 1) + 3k + 4 \right]
\]

В скобках упростим выражение:
\[
k(k + 1) + 3k + 4 = k^2 + k + 3k + 4 = k^2 + 4k + 4
\]

Получаем:
\[
= (k + 1)(k^2 + 4k + 4)
\]

Теперь заметим, что выражение в скобках — это полный квадрат:
\[
k^2 + 4k + 4 = (k + 2)^2
\]

Итак,
\[
= (k + 1)(k + 2)^2
\]
или в общем виде:
\[
= (k + 1)((k + 1) + 1)^2
\]

Таким образом, формула сохраняется и для следующего значения n. По принципу математической индукции равенство верно для любого натурального n.
Что и требовалось доказать.