Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 664 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Доказать данное равенство:
\( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}; \)
1) Если \( n = 1 \), тогда:
\( \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}, \, \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}; \)
2) Если \( n = k + 1 \), тогда:
\( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \)
\( = \frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)} = \)
\( = \frac{k^2 + 2k + 1}{(k+1)(k+2)} = \frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{(k+1)+1}; \)
Что и требовалось доказать.
Задача: Докажите, что при любом натуральном \(n\) сумма
\[
\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}
\]
может быть вычислена по формуле \( S_n = \frac{n}{n+1} \).
Решение:
Нам нужно доказать, что сумма
\[
\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}
\]
Используем метод математической индукции.
Шаг 1: Проверим базовый случай для \( n = 1 \).
Когда \( n = 1 \), сумма состоит только из одного элемента:
\[
\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}.
\]
По формуле для суммы получаем:
\[
S_1 = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}.
\]
Это совпадает с нашим результатом, поэтому базовый случай выполнен.
Шаг 2: Предположим, что формула верна для некоторого \( k \), то есть:
\[
\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k+1}.
\]
Шаг 3: Докажем, что формула верна и для \( k + 1 \).
Добавим к обеим частям равенства сумму \( \frac{1}{(k+1)(k+2)} \) и получим:
\[
\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} =\]
\[\frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)}.
\]
Приведем к общему знаменателю:
\[
\frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k(k+2) + 1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k^2 + 2k + 1}{(k+1)(k+2)}.
\]
Обратите внимание, что числитель можно разложить как квадрат:
\[
\frac{k^2 + 2k + 1}{(k+1)(k+2)} = \frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{(k+1) + 1}.
\]
Это совпадает с формулой для \( S_{k+1} \), что и требовалось доказать.
Ответ: Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных чисел \( n \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.