Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 663 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
\[
1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2);
\]
1) Если \( n = 1 \), тогда:
\[
1 \cdot (1+1) = 1 \cdot 2 = 2;
\]
\[
\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2;
\]
2) Если \( n = k + 1 \), тогда:
\[
1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1) + (k+1)(k+2) =
\]
\[
= \frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2) = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3);
\]
\[
= \frac{1}{3}(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2);
\]
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим сумму произведений двух последовательных натуральных чисел:
\[
1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)
\]
1) Проверим равенство для \( n = 1 \):
Сумма слева:
\( 1 \cdot (1 + 1) = 1 \cdot 2 = 2 \)
Вычислим правую часть по формуле:
\[
\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2
\]
Левая и правая части равны, значит, для \( n = 1 \) формула выполняется.
2) Проведём доказательство по индукции.
Пусть формула верна для \( n = k \), то есть:
\[
1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k + 1) = \frac{1}{3}k(k + 1)(k + 2)
\]
Рассмотрим следующий шаг: \( n = k + 1 \). К сумме слева добавим \((k + 1)(k + 2)\):
\[
1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1) + (k+1)(k+2)
\]
Подставим формулу для первых k членов и прибавим последний:
\[
= \frac{1}{3}k(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2)
\]
Вынесем общий множитель \((k + 1)(k + 2)\):
\[
= (k + 1)(k + 2)\left( \frac{1}{3}k + 1 \right)
\]
Запишем 1 как \( \frac{3}{3} \) и сложим дроби:
\[
= (k + 1)(k + 2)\left( \frac{1}{3}k + \frac{3}{3} \right) = (k + 1)(k + 2)\left( \frac{k + 3}{3} \right)
\]
Раскроем скобки:
\[
= \frac{1}{3}(k + 1)(k + 2)(k + 3)
\]
Или в общем виде:
\[
= \frac{1}{3}(k + 1)((k + 1) + 1)((k + 1) + 2)
\]
Таким образом, формула сохраняется для следующего значения n. По принципу математической индукции, равенство справедливо для любого натурального n.
Что и требовалось доказать.
Задачи повышенные трудности
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.