Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 662 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите данное равенство:
\( 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2 (n+1)^2}{4}; \)
1) Проверим равенство:
\( n = 1, \quad 1^3 = 1, \quad \frac{1^2 \cdot 2^2}{4} = 1; \)
\( n = 2, \quad 1^3 + 2^3 = 9, \quad \frac{2^2 \cdot 3^2}{4} = 9; \)
\( n = 3, \quad 1^3 + 2^3 + 3^3 = 36, \quad \frac{3^2 \cdot 4^2}{4} = 36; \)
2) Если \( n = k + 1 \), тогда:
\( 1^3 + 2^3 + \dots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = \)
\( = \frac{k^2 (k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4} = \frac{(k+1)^2 \cdot (k^2 + 4k + 4)}{4} = \)
\( = \frac{(k+1)^2 \cdot ((k+1) + 1)^2}{4}; \)
Что и требовалось доказать.
Задача: Проверьте, что при \( n = 1, 2, 3 \) верна формула:
\( 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2 (n+1)^2}{4} \).
Решение:
1) Проверим равенство для \( n = 1, 2, 3 \):
Для \( n = 1 \):
Слева: \( 1^3 = 1 \);
Справа: \( \frac{1^2 \cdot 2^2}{4} = \frac{1 \cdot 4}{4} = 1 \).
Для \( n = 2 \):
Слева: \( 1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9 \);
Справа: \( \frac{2^2 \cdot 3^2}{4} = \frac{4 \cdot 9}{4} = 9 \).
Для \( n = 3 \):
Слева: \( 1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36 \);
Справа: \( \frac{3^2 \cdot 4^2}{4} = \frac{9 \cdot 16}{4} = 36 \).
Таким образом, для \( n = 1, 2, 3 \) равенство верно.
2) Доказательство для любого натурального \( n \):
Теперь докажем, что данная формула верна для любого натурального числа \( n \), используя метод математической индукции.
База индукции:
Для \( n = 1 \) мы уже проверили, что равенство верно, так как:
\( 1^3 = 1 \), и \( \frac{1^2 \cdot 2^2}{4} = 1 \).
Шаг индукции:
Предположим, что формула верна для \( n = k \), то есть:
\( 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} \).
Теперь нужно доказать, что формула верна для \( n = k + 1 \), то есть:
\( 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} \).
Используем предположение индукции для \( n = k \):
\( 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} \).
Теперь для \( n = k + 1 \) имеем:
\( 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 \).
Приводим к общему знаменателю:
\( = \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4} \).
Теперь вынесем общий множитель \( (k+1)^2 \) за скобки:
\( = \frac{(k+1)^2 \cdot (k^2 + 4k + 4)}{4} \).
Заметим, что \( k^2 + 4k + 4 = (k+2)^2 \). Подставим это в выражение:
\( = \frac{(k+1)^2 \cdot (k+2)^2}{4} \).
Таким образом, мы получаем, что:
\( 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} \), что и требовалось доказать.
Таким образом, по принципу математической индукции формула верна для всех натуральных чисел \( n \).
Ответ: Формула \( = \frac{(k+1)^2 \cdot ((k+1) + 1)^2}{4}; \) верна для всех натуральных чисел \( n \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.