ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 657 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первых двух членов равна 8, а сумма третьего и четвёртого членов равна 72. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, надо сложить, чтобы получить в сумме 242?

1) Первое уравнение:

\[
b_1 + b_2 = 8, \quad b_1 + b_1 q = 8;
\]

\[
b_1 (1 + q) = 8, \quad b_1 = \frac{8}{1 + q};
\]

2) Второе уравнение:

\[
b_3 + b_4 = 72, \quad b_1 q^2 + b_1 q^3 = 72;
\]

\[
b_1 q^2 (1 + q) = 72, \quad \text{подставим } b_1 = \frac{8}{1+q}:
\]

\[
\frac{8}{1+q} \cdot q^2 (1 + q) = 72 \Rightarrow 8 q^2 = 72;
\]

\[
q^2 = 9, \quad q = 3;
\]

\[
b_1 = \frac{8}{1 + 3} = \frac{8}{4} = 2;
\]

3) Найдём количество членов прогрессии:

\[
S_n = \frac{b_1 (q^n — 1)}{q — 1} = 242;
\]

\[
\frac{2 (3^n — 1)}{3 — 1} = 242 \Rightarrow \frac{2 (3^n — 1)}{2} = 242;
\]

\[
3^n — 1 = 242 \Rightarrow 3^n = 243;
\]

\[
243 = 3^5 \Rightarrow n = 5;
\]

Ответ: количество членов прогрессии равно \(5\).

Дано:

• Геометрическая прогрессия с первым членом \(b_1\) и знаменателем \(q\).
• Сумма первых \(n\) членов равна 242.
• Известны суммы пар членов:
  • Первый и второй члены: \(b_1 + b_2 = 8\).
  • Третий и четвёртый члены: \(b_3 + b_4 = 72\).

Шаг 1. Составим уравнения для известных сумм:

Поскольку прогрессия геометрическая, то:

• \(b_2 = b_1 q\)
• \(b_3 = b_1 q^2\)
• \(b_4 = b_1 q^3\)

Первое уравнение:

\[
b_1 + b_2 = b_1 + b_1 q = b_1 (1 + q) = 8,
\]
откуда
\[
b_1 = \frac{8}{1 + q}.
\]

Шаг 2. Составим второе уравнение:

\[
b_3 + b_4 = b_1 q^2 + b_1 q^3 = b_1 q^2 (1 + q) = 72.
\]

Подставим выражение для \(b_1\) из первого уравнения:

\[
\frac{8}{1 + q} \cdot q^2 (1 + q) = 72 \Rightarrow 8 q^2 = 72,
\]
откуда
\[
q^2 = 9.
\]

Поскольку прогрессия положительная и \(q\) положительно выбран, возьмём:

\[
q = 3.
\]

Шаг 3. Найдем \(b_1\):

\[
b_1 = \frac{8}{1 + 3} = \frac{8}{4} = 2.
\]

Шаг 4. Найдем количество членов \(n\) по условию суммы:

Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[
S_n = \frac{b_1 (q^n — 1)}{q — 1} = 242.
\]

Подставим известные \(b_1\) и \(q\):

\[
\frac{2 (3^n — 1)}{3 — 1} = 242.
\]

Вычислим знаменатель:

\[
3 — 1 = 2,
\]
следовательно:
\[
\frac{2 (3^n — 1)}{2} = 242 \Rightarrow 3^n — 1 = 242.
\]

Найдём \(3^n\):

\[
3^n = 243.
\]

Поскольку \(243 = 3^5\), то:

\[
n = 5.
\]

Итог:

• Знаменатель прогрессии \(q = 3\).
• Первый член \(b_1 = 2\).
• Количество членов \(n = 5\).

Ответ: количество членов прогрессии равно 5.