ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 656 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (bn), в которой b2 = 6 и b4 = 54, если известно, что все её члены положительны.

1) Найдём прогрессию:
\[
b_2 = b_1 q, \, b_4 = b_1 \cdot q^3;
\]

\[
b_1 = \frac{b_2}{q}, \, b_1 = \frac{b_4}{q^3};
\]

\[
b_1 = \frac{6}{q} = \frac{54}{q^3}, \, q^2 = 9;
\]

\[
q = 3, \, b_1 = \frac{6}{3} = 2;
\]

2) Сумма семи первых членов:
\[
S_7 = \frac{b_1(q^7 — 1)}{q — 1} = \frac{2 \cdot (3^7 — 1)}{3 — 1};
\]

\[
S_7 = \frac{2 \cdot (2187 — 1)}{2} = 2186;
\]

Ответ: \(2186.\)

1) Найдём прогрессию:

Известно, что:

• \(b_2 = b_1 q\),
• \(b_4 = b_1 q^3\).

Выразим \(b_1\) через \(b_2\) и \(q\):

\[
b_1 = \frac{b_2}{q};
\]

Выразим \(b_1\) через \(b_4\) и \(q\):

\[
b_1 = \frac{b_4}{q^3};
\]

Приравняем обе части:

\[
\frac{6}{q} = \frac{54}{q^3};
\]

Умножим обе части на \(q^3\):

\[
6 q^2 = 54;
\]

Найдём \(q^2\):

\[
q^2 = \frac{54}{6} = 9;
\]

Извлечём \(q\):

\[
q = 3;
\]

Найдём \(b_1\):

\[
b_1 = \frac{6}{3} = 2;
\]

2) Найдём сумму первых семи членов:

Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[
S_n = \frac{b_1 (q^n — 1)}{q — 1};
\]

Подставим \(n = 7\), \(b_1 = 2\), \(q = 3\):

\[
S_7 = \frac{2 \cdot (3^7 — 1)}{3 — 1};
\]

Вычислим степени:

\[
3^7 = 2187;
\]

Вычислим сумму:

\[
S_7 = \frac{2 \cdot (2187 — 1)}{2} = 2186;
\]

Ответ: сумма первых семи членов равна \(2186\).