ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 655 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 2, а пятый равен 162, если известно, что её члены с нечётными номерами положительны, а с чётными отрицательны.

В заданной прогрессии:
\(b_1 = 2, \, b_5 = 162, \, q < 0;\)

1) Найдём знаменатель:
\[
b_5 = b_1 \cdot q^4, \, 2 \cdot q^4 = 162;
\]

\[
q^4 = 81, \, q = -\sqrt[4]{81} = -3;
\]

2) Сумма шести первых членов:
\[
S_6 = \frac{b_1(q^6 — 1)}{q — 1} = \frac{2 \cdot ((-3)^6 — 1)}{-3 — 1};
\]

\[
S_6 = \frac{2 \cdot (729 — 1)}{-4} = \frac{2 \cdot 728}{-4};
\]

\[
S_6 = \frac{1456}{-4} = -364;
\]

Ответ: \(-364.\)

Дано:

• Первый член геометрической прогрессии: \(b_1 = 2\).
• Пятый член: \(b_5 = 162\).
• Знаменатель прогрессии \(q < 0\).

1) Найдем знаменатель прогрессии \(q\):

По формуле для члена геометрической прогрессии:

\[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}.
\]

Подставим известные данные для \(n = 5\):

\[
b_5 = b_1 \cdot q^4.
\]

Подставляем значения:

\[
162 = 2 \cdot q^4.
\]

Выразим \(q^4\):

\[
q^4 = \frac{162}{2} = 81.
\]

Найдём \(q\). Так как \(q < 0\), то:

\[
q = -\sqrt[4]{81} = -3.
\]

2) Найдем сумму первых шести членов \(S_6\):

Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[
S_n = \frac{b_1 (q^n — 1)}{q — 1}.
\]

Подставим \(n = 6\), \(b_1 = 2\), \(q = -3\):

\[
S_6 = \frac{2 \cdot ((-3)^6 — 1)}{-3 — 1} = \frac{2 \cdot (729 — 1)}{-4}.
\]

Вычислим числитель:

\[
2 \cdot (729 — 1) = 2 \cdot 728 = 1456.
\]

Теперь разделим на знаменатель:

\[
S_6 = \frac{1456}{-4} = -364.
\]

Ответ: сумма первых шести членов равна \(-364\).