Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 652 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
a) \(1; 3; 3^2; \ldots\):
\[
b_1 = 1, \, b_2 = 3, \, q = 3;
\]
\[
S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1} = \frac{3^n — 1}{2};
\]
б) \(2; 2^2; 2^3; \ldots\):
\[
b_1 = 2, \, b_2 = 2^2, \, q = 2;
\]
\[
S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1} = 2(2^n — 1);
\]
в) \( \frac{1}{2}; \, -\frac{1}{4}; \, \frac{1}{8}; \, \ldots; \)
\( b_1 = \frac{1}{2}, \, b_2 = -\frac{1}{4}, \, q = -\frac{1}{2}; \)
\( S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\left(-\frac{1}{2}\right)^n — 1\right)}{-\frac{1}{2} — 1}; \)
\( S_n = \frac{-2}{2 \cdot 3} \left(\frac{1}{(-2)^n} — 1\right) = \frac{1}{3} \left(1 — \frac{1}{(-2)^n}\right); \)
г) \(1; -x; x^2; \ldots\):
\[
b_1 = 1, \, b_2 = -x, \, q = -x;
\]
\[
S_n = \frac{b_1(1 — q^n)}{1 — q} = \frac{1 — (-x)^n}{1 + x};
\]
д) \(1; x^2; x^4; \ldots\):
\[
b_1 = 1, \, b_2 = x^2, \, q = x^2;
\]
\[
S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1} = \frac{x^{2n} — 1}{x^2 — 1};
\]
е) \(1; x^3; x^6; \ldots\):
\[
b_1 = 1, \, b_2 = x^3, \, q = x^3;
\]
\[
S_n = \frac{b_1(1 — q^n)}{1 — q} = \frac{1 — (-x^3)^n}{1 + x^3};
\]
Задача: Найдите сумму первых \( n \) членов геометрической прогрессии:
- а) \( 1; 3; 3^2; \ldots \);
- б) \( 2; 2^2; 2^3; \ldots \);
- в) \( \frac{1}{2}; -\frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \ldots \);
- г) \( 1; -x; x^2; \ldots \), где \( x \neq -1 \);
- д) \( 1; x^2; x^4; \ldots \), где \( x \neq \pm 1 \);
- е) \( 1; -x^3; x^6; \ldots \), где \( x \neq -1 \);
Решение:
a) \( 1; 3; 3^2; \ldots \):
Здесь первый член прогрессии \( b_1 = 1 \), второй член \( b_2 = 3 \), и знаменатель прогрессии \( q = 3 \).
Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
\( S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1}. \)
Подставляем значения:
\( S_n = \frac{3^n — 1}{2}. \)
б) \( 2; 2^2; 2^3; \ldots \):
Здесь \( b_1 = 2 \), второй член \( b_2 = 2^2 \), и знаменатель прогрессии \( q = 2 \).
Сумма первых \( n \) членов:
\( S_n = 2(2^n — 1). \)
в) \( \frac{1}{2}; -\frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \ldots \):
Здесь первый член \( b_1 = \frac{1}{2} \), второй член \( b_2 = -\frac{1}{4} \), и знаменатель прогрессии \( q = -\frac{1}{2} \).
Сумма первых \( n \) членов:
\( S_n = \frac{\frac{1}{2} \cdot \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^n — 1 \right)}{-\frac{1}{2} — 1}. \)
Упростим выражение:
\( S_n = \frac{1}{3} \left( 1 — \frac{1}{(-2)^n} \right). \)
г) \( 1; -x; x^2; \ldots \), где \( x \neq -1 \):
Здесь первый член \( b_1 = 1 \), второй член \( b_2 = -x \), и знаменатель прогрессии \( q = -x \).
Сумма первых \( n \) членов:
\( S_n = \frac{1 — (-x)^n}{1 + x}. \)
д) \( 1; x^2; x^4; \ldots \), где \( x \neq \pm 1 \):
Здесь \( b_1 = 1 \), второй член \( b_2 = x^2 \), и знаменатель прогрессии \( q = x^2 \).
Сумма первых \( n \) членов:
\( S_n = \frac{x^{2n} — 1}{x^2 — 1}. \)
е) \( 1; -x^3; x^6; \ldots \), где \( x \neq -1 \):
Здесь \( b_1 = 1 \), второй член \( b_2 = -x^3 \), и знаменатель прогрессии \( q = -x^3 \).
Сумма первых \( n \) членов:
\( S_n = \frac{1 — (-x^3)^n}{1 + x^3}. \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.