Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 645 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Пусть стороны треугольника:
\[
b_1 = a, \, b_2 = b, \, b_3 = c, \, q > 1;
\]
1) Рисунок к заданию:
2) По теореме Пифагора:
\[
c^2 = a^2 + b^2, \, (aq^2)^2 = a^2 + (aq)^2;
a^2q^4 = a^2 + a^2q^2, \, q^4 — q^2 — 1 = 0;
\]
\[
D = 1^2 + 4 \cdot 1 = 1 + 4 = 5, \, \text{тогда:}
q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \, q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}};
\]
3) Выполним проверку:
\[
a = 1, \, b = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}, \, c = \frac{1 + \sqrt{5}}{2};
\]
\[
a^2 + b^2 = 1 + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2};
c^2 = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = a^2 + b^2;
\]
Ответ: может, если \( q = \frac{\sqrt{1 + \sqrt{5}}}{\sqrt{2}} \).
Задача-исследование: Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию?
Решение задачи:
Пусть стороны прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию. Обозначим длины сторон через \( a \), \( aq \) и \( aq^2 \), где \( a \) — первый элемент прогрессии, а \( q \) — её знаменатель. В соответствии с условием задачи, гипотенуза будет равна \( aq^2 \), а катеты \( a \) и \( aq \).
Сделаем чертёж: Для наглядности в задаче представлен рисунок
Для прямоугольного треугольника применима теорема Пифагора:
\( c^2 = a^2 + b^2 \),
где \( c \) — гипотенуза, а \( a \) и \( b \) — катеты. Подставим в эту теорему выражения для сторон, учитывая, что стороны образуют геометрическую прогрессию:
\( (aq^2)^2 = a^2 + (aq)^2 \)
Упростим полученное выражение:
\( a^2q^4 = a^2 + a^2q^2 \)
Разделим обе части на \( a^2 \) (при \( a \neq 0 \)):
\( q^4 = 1 + q^2 \)
Переносим все в одну сторону:
\( q^4 — q^2 — 1 = 0 \)
3. Составляем уравнение и решаем его:
Решим квадратное уравнение для \( q^2 \). Обозначим \( x = q^2 \), тогда уравнение примет вид:
\( x^2 — x — 1 = 0 \)
Для этого уравнения находим дискриминант:
\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 \)
Таким образом, получаем:
\( x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \)
Так как \( x = q^2 \), то мы выбираем положительное значение для \( x \), так как \( q^2 > 0 \). Таким образом:
\( q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \)
Следовательно:
\( q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} \)
4. Выполним проверку:
Подставим найденные значения в выражения для сторон треугольника. Пусть \( a = 1 \), тогда:
\( b = aq = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} \)
\( c = aq^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \)
Проверим теорему Пифагора:
Сумма квадратов катетов:
\( a^2 + b^2 = 1^2 + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \)
Квадрат гипотенузы:
\( c^2 = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \)
Таким образом, мы видим, что:
\( a^2 + b^2 = c^2 \), что подтверждает теорему Пифагора.
Ответ: Да, длины сторон прямоугольного треугольника могут составлять геометрическую прогрессию, если \( q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.